[論文レビュー] The construction and weight distributions of all projective binary linear codes

Cunsheng Ding|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2020

Coding theory and cryptography参考文献 10被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、トレースに基づく構成を介して、すべての射影的二値線形符号の重み分布とブール関数のワルシュスペクトルの間の直接的な対応関係を確立する。ブール関数の台から導かれる射影的二値符号の重み分布は、特性和解析によって決定され、ガロア理論や符号理論の分野における新しい研究方向性を提案する。

ABSTRACT

Boolean functions can be used to construct binary linear codes in many ways, and vice versa. The objective of this short article is to point out a connection between the weight distributions of all projective binary linear codes and the Walsh spectra of all Boolean functions. New research problems are also proposed.

研究の動機と目的

• すべての射影的二値線形符号の重み分布とブール関数のワルシュスペクトルの間の根本的な関係を確立すること。
• 特定のブール関数（例：ベント関数）を、それらに関連する線形符号を通じて符号理論的に特徴付けること。
• 古典的二値線形符号（例：ゴレイ、ハミング、BCH、リード・マラー）とそれに対応するブール関数を結ぶ新しい研究課題を提起すること。
• 重みが少ない既知の線形符号から導かれるブール関数の構造的およびスペクトル的性質を調査すること。

提案手法

• 有限体 $\mathrm{GF}(2^m)$ から $\mathrm{GF}(2)$ へのトレース関数を用いて、$\mathrm{GF}(2^m)$ の部分集合 $D \subseteq \mathrm{GF}(2^m)$ から二値線形符号を構成し、符号 $\mathcal{C}_D = \{ (\mathrm{Tr}(xd_1), \dots, \mathrm{Tr}(xd_n)) \mid x \in \mathrm{GF}(2^m) \}$ を定義する。
• 各コドワード $\mathbf{c}_x$ のハミング重みを $\mathrm{wt}(\mathbf{c}_x) = n - N_x(0)$ と表現する。ここで $N_x(0)$ は $\mathrm{Tr}(xd_i)$ のゼロの個数を数える。
• 標準加法的特徴 $\chi_1$ を含む特性和の恒等式を適用して $N_x(0)$ を計算し、$\mathrm{wt}(\mathbf{c}_x) = \frac{(q-1)n - \sum_{y \in \mathrm{GF}(q)^*} \chi_1(yxD)}{q}$ という式を得る。
• ブール関数 $f$ のスペクトルと符号 $\mathcal{C}_{D_f}$ の重み分布を結びつけるために、ワルシュ変換 $\hat{f}(w) = \sum_{x \in \mathrm{GF}(2^m)} (-1)^{f(x) + \mathrm{Tr}(wx)}$ を用いる。ここで $D_f$ は $f$ の台である。
• 定義集合とブール関数の双対性を活用し、各射影的符号が同一のワルシュスペクトルを持つ複数のブール関数に対応することを示す。
• 特別な場合 $m = 2h$ において、符号を $\mathcal{C}_E = \{ (\mathrm{Tr}_{2^h/2}(e_1x_1 + e_2x_2)) \mid (x_1,x_2) \in \mathrm{GF}(2^h)^2 \}$ と表現し、$E$ を係数ペアの集合とする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 射影的二値線形符号の重み分布は、その関連ブール関数のワルシュスペクトルを用いてどのように特徴付けられるか？
• RQ2 二値ゴレイ符号 $[23,12,7]$ 及びその拡張版に対応するブール関数は何か？
• RQ3 二値マクドナルド符号 $[2^k - 2, k, 2^{k-1} - 1]$ に対応するブール関数は何か？
• RQ4 重みが $1 \leq \ell < m$ である二値リード・マラー符号 $\mathcal{R}_2(\ell,m)$ から導かれるブール関数は、その符号パラメータとどのように関係するか？
• RQ5 二値ハミング符号 $[2^m - 1, 2^m - 1 - m, 3]$ に関連するブール関数の構造は何か？

主な発見

• 射影的二値線形符号 $\mathcal{C}_D$ の重み分布は、特性和 $\sum_{y \in \mathrm{GF}(2)^*} \chi_1(yxD)$ の値分布によって完全に決定され、これにより符号の重みとブール関数 $f$ のワルシュスペクトルが結びつく。
• ブール関数 $f$ がベントであるための必要十分条件は、符号 $\mathcal{C}_{D_f}$ が参考文献[3]の表IIに示された重み分布を持つことである。これにより、ベント関数の符号理論的特徴付けが直接的に確立される。
• 次元 $k$ の射影的二値線形符号は、$\mathrm{GF}(2^k)$ に複数の双対基底が存在することにより、$2^{2^k - k}$ 個の異なるブール関数と対応し、それらはすべて同一のワルシュスペクトルを持つ。
• $m = 2h$ の特別な場合において、符号 $\mathcal{C}_E$ は集合 $E \subseteq \mathrm{GF}(2^h)^2$ から構成され、その重み分布は $E$ の特性関数のワルシュ変換によって決定される。
• 本構成により、$\mathrm{GF}(2^m)$ から $\mathrm{GF}(2)$ へのブール関数 $f$ と定義集合 $D_f \subseteq \mathrm{GF}(2^m)$ の間の一対一対応が得られ、ブール関数のスペクトル的性質を符号の重み分布に移すことが可能になる。
• 本稿では、既知の二重および三重重みを持つ多くの二値符号（例：[1] より）が、非常に構造的で洗練されたブール関数に対応することを特定し、それらに富んだ代数的およびスペクトル的性質が今後の研究にふさわしいと考えられる。