[論文レビュー] The continuum limit of a tensor network: a path integral representation

Christoph Brockt, Jutho Haegeman+3 more|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2012

Quantum many-body systems参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、テンソルネットワークの連続極限として、連続行列積状態（cMPS）の経路積分形式を提案する。離散的テンソル畳み込みを補助自由度上の連続的経路積分に置き換える。動的に進化した量子場状態およびFock空間のすべての状態が、補助系の次元を無限大にしたときcMPSとして表現可能であることが示され、cMPSクラスの完全性が確立される。

ABSTRACT

We argue that the natural way to generalise a tensor network variational class to a continuous quantum system is to use the Feynman path integral to implement a continuous tensor contraction. This approach is illustrated for the case of a recently introduced class of quantum field states known as continuous matrix-product states (cMPS). As an example of the utility of the path-integral representation we argue that the state of a dynamically evolving quantum field admits a natural representation as a cMPS. An argument that all states in Fock space admit a cMPS representation when the number of variational parameters tends to infinity is also provided.

研究の動機と目的

• 離散的テンソルネットワーク変分クラスを連続的量子系へ一般化するため、連続極限をとること。
• 連続行列積状態（cMPS）に対して、物理的に妥当で数学的に整合性のある経路積分表現を確立すること。
• 補助系の次元が無限大に近づくとき、cMPSクラスがFock空間において完全であることを示すこと。
• 連続的テンソルネットワークの高次元一般化のための枠組みを提供すること。
• 時間発展した量子場状態が自然にcMPS表現をもつことの証明。

提案手法

• フェルマーの経路積分を用いて、離散的テンソル畳み込みを補助自由度上の連続的畳み込みに置き換える。
• 物理場が最終の補助時間でのみ結合する補助場のクリーニング状態の経路積分としてcMPSを定義する。
• 物理場がβ = Tで補助系と結合する自由補助ハミルトニアンと相互作用項を含む合成ハミルトニアンを構築する。
• 補助場の運動エネルギー項、自由ハミルトニアン、および最終時間における物理場演算子を含む結合項を含む経路積分作用を導出する。
• クリーニング状態の経路積分と単位分解を用いて、補助場配置上の関数的積分としてcMPS表現を導出する。
• 得られた経路積分が、自由ハミルトニアンと局所的相互作用を持つcMPS表現をもたらし、補助調和振動子の切断により効率的なシミュレーションが可能になることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 離散的テンソルネットワーク形式を連続的量子系へ体系的に拡張する方法は何か？
• RQ2 テンソルネットワークの連続極限は、補助自由度上の経路積分によって自然に記述可能か？
• RQ3 補助系の次元を無限大にしたとき、cMPSクラスはFock空間のすべての状態を完全に表現可能か？
• RQ4 動的に進化した量子場状態は自然にcMPSとして表現可能か？
• RQ5 cMPSの経路積分表現は、物理場と補助場を含む複合系のユニタリ時間発展から導出可能か？

主な発見

• cMPSクラスは、補助系のクリーニング状態の重ね合わせとしての経路積分表現を有し、テンソルネットワークの自然な連続極限を提供する。
• 経路積分形式により、物理場が補助系時間発展演算の最終点でのみ結合することが明らかとなり、局所性と物理的整合性が保証される。
• 時間Tにおける動的に進化した量子場状態は、特定の自由ハミルトニアンと相互作用項を持つcMPSとして表現可能であり、時間発展演算に適したクラスであることが示された。
• 補助系の次元を無限大にした極限において、Fock空間のすべての状態がcMPSとして表現可能であり、cMPS変分クラスの完全性が証明された。
• 単一の補助調和振動子を最終時間に結合させることで、完全正値マップを介してcMPS表現を効率的にシミュレート可能であり、実用的な数値実装が可能である。