[論文レビュー] The Controlled-U and Unitary Transformation in Two-Qudit

Kunio Funahashi|ArXiv.org|Apr 11, 2003

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、置換およびハダマードに類似した操作などの基本的量子ditゲートを用いて、制御Uゲートおよびユニバーサル2ditユニタリ変換の明示的構成を提示する。対角化および制御位相操作を用いたユニバーシティの証明により、高次元系におけるユニバーサル量子計算を実現する。この手法は、状態に特有の位相シフトと置換ゲートを用いて、qubitベースの制御操作をditに拡張し、qubitと比較して回路の深さを低減する高次元系におけるユニバーサル量子計算を可能にする。

ABSTRACT

We concretely construct an extension of the controlled-U gate in qudit from some elementary gates. We also construct unitary transformation in two-qudit by means of the extended controlled-U gate and show the universality of it.

研究の動機と目的

• qubitの制御Uゲートを基本的量子ゲートを用いてditに体系的に拡張すること。
• 基本的操作からユニバーサル2ditユニタリ変換を構築し、任意のユニタリを合成可能であることを保証すること。
• 先行研究におけるギャップを埋めるために、dit系におけるユニバーシティの明示的・構成的証明を提供すること。
• 特に回路の深さの低減とデコherenceの緩和を実現する点で、ditベースの量子計算の利点を検討すること。

提案手法

• 単一ditゲート：置換ゲート $P_{ab}$ およびハダマードに類似したゲート $H_{ab}$ を用いて、個々のdit状態を操作する。
• 制御ゲート $\tilde{C}^a(U)$ を導入し、制御ditが状態 $|a\rangle$ にいる場合にのみ、ターゲットditにユニタリ $U$ を適用する。
• 位相 $e^{i\sigma(a,b)}$ を状態 $|a\rangle|b\rangle$ に適用する制御位相ゲート $\tilde{X}(a,b)$ を構築する。
• $\tilde{Z}(a,b)$ を、制御スワップ操作 $\tilde{S}^{a}_b(\sigma(a,b))$ を用いて $\tilde{X}(a,b)$ の共役版として定義し、対角ユニタリ操作を可能にする。
• すべての $\tilde{Z}(a,b)$ ゲートを積 $\tilde{U} = \prod_{a,b=0}^{d-1} \tilde{Z}(a,b)$ として結合し、対角ユニタリ変換を実現する。
• これらの制御および対角操作を用いて、任意の2ditユニタリが合成可能であることを示し、ユニバーシティを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 制御Uゲートは、基本的ゲートを用いてqubitからditに体系的に拡張可能か？
• RQ2 基本的dit操作からユニバーサル2ditユニタリ変換をどのように構築できるか？
• RQ3 対角化および位相ゲートは、dit系におけるユニバーシティ達成において果たす役割は何か？
• RQ4 本手法は、qubitベースのオイラー分解と比較して、スケーラビリティおよび複雑さの面でどのように異なるか？
• RQ5 回路の深さの低減およびデコherenceの緩和という点で、ditベースの量子計算に物理的利点はあるか？

主な発見

• 制御Uゲートは、置換およびハダマードに類似したゲートを用いて、qubitの場合の一般化として、明確に構築可能である。
• 制御位相ゲートと対角ゲートを組み合わせることで、ユニバーサル2ditユニタリ変換が達成され、ditフレームワークにおけるユニバーシティが証明された。
• オイラー分解ではなく、対角化に依存するアプローチであるため、高次元系においてよりスケーラブルな方法を提供する。
• 構成には、$d(d-1)/2$ 個の置換ゲートと $d(d-1)/2$ 個のハダマードに類似したゲートが使用され、制御位相操作がユニバーサルゲートセットの核をなす。
• 最終的なユニバーサルゲート $\tilde{U}$ は、基底状態 $|\sigma(a,b)\rangle$ に対して固有値 $e^{i\sigma(a,b)}$ を持つ対角演算子として作用し、そのユニタリ性および対角性が確認された。
• 多制御ゲートの指数的スケーリングを回避するため、単一ターゲットの制御操作の積を用いることで、物理的実装の可能性が向上した。