[논문 리뷰] The convex real projective orbifolds with radial or totally geodesic ends: The closedness and openness of deformations

Suhyoung Choi|arXiv (Cornell University)|2010. 11. 04.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 45인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 반경 또는 완전히 지선형인 끝을 가진 볼록 리얼 프로젝티브 오비폴드의 변형 공간과 그 기본군의 PGL(n+1,R)-표현 공간 사이의 국소적 호메오멀포지즘을 수립한다. 헤시안 분석과 기하 수렴 기법을 사용하여, 변형에 under proper (또는 strict) 볼록 구조의 열림과 닫힘을 증명하며, 베노이스의 폐쇄된 오비폴드에 대한 결과를 일반화하고, 크램폰-마르키스 및 쿠퍼-롱-틸먼의 마르글리스 보조정리를 통해 상대적 히에르기컬린 구조로 이론을 확장한다.

ABSTRACT

A real projective orbifold is an $n$-dimensional orbifold modeled on $\mathbb{RP}^n$ with the group $PGL(n+1, \mathbb{R})$. We concentrate on an orbifold that contains a compact codimension $0$ submanifold whose complement is a union of neighborhoods of ends, diffeomorphic to closed $(n-1)$-dimensional orbifolds times intervals. A real projective orbifold has a {\it radial end} if a neighborhood of the end is foliated by projective geodesics that develop into geodesics ending at a common point. It has a {\it totally geodesic end} if the end can be completed to have the totally geodesic boundary. The orbifold is said to be {\it convex} if any path can be homotopied to a projective geodesic with endpoints fixed. A real projective structure sometimes admits deformations to parameters of real projective structures. We will prove the local homeomorphism between the deformation space of convex real projective structures on such an orbifold with radial or totally geodesic ends with various conditions with the $PGL(n+1, \mathbb{R})$-character space of the fundamental group with corresponding conditions. We will use a Hessian argument to show that under a small deformation, a properly (resp. strictly) convex real projective orbifold with generalized admissible ends will remain properly and properly (resp. strictly) convex with generalized admissible ends. Lastly, we will prove the openness and closedness of the properly (resp. strictly) convex real projective structures on a class of orbifold with generalized admissible ends, where we need the theory of Crampon-Marquis and Cooper, Long and Tillmann on the Margulis lemma for convex real projective manifolds. The theory here partly generalizes that of Benoist on closed real projective orbifolds.

연구 동기 및 목표

• 반경 또는 완전히 지선형인 끝을 가진 볼록 리얼 프로젝티브 오비폴드의 변형 공간과 기본군의 PGL(n+1,R)-표현 공간 사이의 국소적 호메오멀포지즘을 수립하기.
• 일반화된 허용 가능한 끝을 가진 오비폴드 위의 적절히 (또는 엄밀히) 볼록 리얼 프로젝티브 구조의 공간이 변형 공간에서 열림과 닫힘을 갖는 것을 증명하기.
• 폐쇄된 볼록 리얼 프로젝티브 오비폴드에 대한 베노이스 이론을 끝의 구조가 통제된 비유한 설정으로 확장하기.
• 헤시안 분석과 볼록성 유지 기법을 사용하여 소규모 변형 하에서 호로노미 표현의 행동을 분석하기.

제안 방법

• 소규모 변형이 일반화된 허용 가능한 끝을 가진 오비폴드에서 적절하고 엄밀한 볼록성을 유지함을 보이기 위해 헤시안 기반 분석을 활용한다.
• 유니버설 커버 위의 하우스도르프 및 힐베르트 거리 체계에 기반한 볼록 리얼 프로젝티브 오비폴드의 기하 수렴 이론을 적용한다.
• 쌍대성 구성과 아핀 스텝을 사용하여 p-끝 이웃 영역과 그 볼록 hull의 구조를 분석한다.
• 상대적 히에르기컬린 이론과 바우디치의 방법을 활용하여 군 작용이 볼록성과 끝의 행동과 어떻게 연결되는지 분석한다.
• 볼록 리얼 프로젝티브 다양체에 대한 크램폰-마르키스 및 쿠퍼-롱-틸먼의 마르글리스 보조정리 결과를 응용하여 끝의 기하학을 제어한다.
• 표현 공간의 준대수적 성질과 극한 집합의 연속성에 기반하여 변형 공간의 닫힘을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 반경 또는 완전히 지선형인 끝을 가진 오비폴드 위의 적절히 볼록한 리얼 프로젝티브 구조의 소규모 변형이 여전히 적절히 볼록한가? 어떤 조건에서 성립하는가?
• RQ2 이러한 오비폴드 위의 적절히 (또는 엄밀히) 볼록한 리얼 프로젝티브 구조의 공간은 변형 공간에서 열림과 닫힘을 갖는가?
• RQ3 호로노미 표현은 변형 하에서 어떻게 행동하는가? 그리고 볼록성이 유지되기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ4 일반화된 허용 가능한 끝을 가진 오비폴드의 볼록 리얼 프로젝티브 구조의 변형 공간은 기본군의 표현 공간과 국소적으로 호메오멀포픽한가?
• RQ5 p-끝 군과 그 볼록 도메인 위의 작용은 오비폴드의 전반적 볼록성과 위상적 구조에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 적절한 조건 하에서 반경 또는 완전히 지선형인 끝을 가진 볼록 리얼 프로젝티브 오비폴드의 변형 공간은 기본군의 PGL(n+1,R)-표현 공간과 국소적으로 호메오멀포픽하다.
• 헤시안 기반 분석을 통해 원래 구조가 일반화된 허용 가능한 끝을 가진 경우 소규모 변형이 적절하고 엄밀한 볼록성을 유지함을 입증하였다.
• 일반화된 허용 가능한 끝을 가진 오비폴드 위의 적절히 (또는 엄밀히) 볼록한 리얼 프로젝티브 구조의 공간은 변형 공간에서 열림과 닫힘을 모두 갖는다.
• 변형 공간의 닫힘은 극한 집합과 끝 군의 볼록 hull로 특징지어지며, 차원 제약 조건이 적절한 도메인 구조를 보장한다.
• 개발 영상 위의 호로노미 작용은 변형 하에서도 여전히 적절히 볼록하며, 개발 사상은 볼록 도메인 위로의 미분동형사상으로 유지된다.
• 베노이스의 폐쇄된 볼록 리얼 프로젝티브 오비폴드에 대한 결과는 끝의 구조가 통제된 비유한 설정으로 일반화되었다.