[論文レビュー] The Cox ring of an algebraic variety with torus action

Juergen Hausen, Hendrik Süß|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、多様体のトーラス作用の複雑さが1である正規完全代数的多様体のコックス環について、多面体的除数とオルリック＝ワグライン図を用いて、完全な組合せ的記述を提供する。幾何的商と分離を介して生成元と関係式による明示的表現を確立し、トーリック多様体の古典的結果を一般化するとともに、ゴレンシュタインのデル・ペッツォ ${\mathbb{K}}^{*}$-表面および射影化されたベクトルバンドルの明示的環を計算する。

ABSTRACT

We investigate the Cox ring of a normal complete variety X with algebraic torus action. Our first results relate the Cox ring of X to that of a maximal geometric quotient of X. As a consequence, we obtain a complete description of the Cox ring in terms of generators and relations for varieties with torus action of complexity one. Moreover, we provide a combinatorial approach to the Cox ring using the language of polyhedral divisors. Applied to smooth k*-surfaces, our results give a description of the Cox ring in terms of Orlik-Wagreich graphs. As examples, we explicitly compute the Cox rings of all Gorenstein del Pezzo k*-surfaces with Picard number at most two and the Cox rings of projectivizations of rank two vector bundles as well as cotangent bundles over toric varieties in terms of Klyachko's description.

研究の動機と目的

• 正規完全多様体のトーラス作用に関するコックス環を生成元と関係式の観点から記述すること。
• トーラス作用の下での最大幾何的商に関するコックス環と元の多様体のコックス環との関係を特定すること。
• 複雑さ1の状況におけるコックス環の計算のための組合せ的枠組みを、多面体的除数を用いて提供すること。
• この枠組みを、ゴレンシュタインのデル・ペッツォ ${\mathbb{K}}^{*}$-表面およびトーリック多様体上の射影化された余接バンドルの明示的コックス環の計算に応用すること。

提案手法

• トーラス作用が自由である開部分集合 $X_0 \subseteq X$ を用いて、幾何的商 $X_0/T$ を構成する。
• 不変除的の標準的切断を含む次数付き環同型を介して、コックス環 $\mathcal{R}(X)$ を $\mathcal{R}(X_0/T)$ と関係付ける。
• $X \setminus X_0$ に属する除的および有限安定化部分群を持つ除的に対して、それぞれ $1_{E_k}$ および $1_{D_j}$ を標準的切断として導入する。
• 分離写像 $\pi: X_0/T \dashrightarrow Y$ を適用し、コックス環の問題を、既知のコックス環を持つ多様体 $Y$ に還元する。
• 多面体的除数を用いて $X_0/T$ の幾何を符号化し、単項式および三項式を介してコックス環内の関係を導出する。
• クリャチコのトーラス不変ベクトルバンドルの記述を活用し、射影化および余接バンドルのコックス環を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正規完全多様体のトーラス作用に関するコックス環は、生成元と関係式の観点からどのように記述できるか？
• RQ2 トーラス作用の下での最大幾何的商に関するコックス環と元の多様体のコックス環との関係は何か？
• RQ3 複雑さ1の状況において、多面体的除数を用いてコックス環を組合せ的に計算できるか？
• RQ4 オルリック＝ワグライン図は、滑らかな ${\mathbb{K}}^{*}$-表面におけるコックス環構造をどのように符号化するか？
• RQ5 ピカール数が2以下のゴレンシュタインのデル・ペッツォ ${\mathbb{K}}^{*}$-表面のコックス環の明示的形は何か？

主な発見

• トーラス作用の複雑さが1である多様体のコックス環は、$\mathcal{R}(Y)[S_1,\ldots,S_m,T_{ij}]/\langle T_i^{l_i} - 1_{C_i} \rangle$ に同型であり、ここで $Y$ は $X_0/T$ の分離である。
• 滑らかな ${\mathbb{K}}^{*}$-表面では、オルリック＝ワグライン図を用いてコックス環が記述され、環構造の組合せ的不変量が得られる。
• ピカール数 $\leq 2$ のすべてのゴレンシュタインのデル・ペッツォ ${\mathbb{K}}^{*}$-表面のコックス環が明示的に計算された。
• トーリック多様体上のランク2のトーラス不変ベクトルバンドルの射影化のコックス環は、同型の次数付き多項式拡張として与えられ、安定化部分群の次数を含む関係式を有する。
• トーリック多様体上の余接バンドルのコックス環は、クリャチコのフィルトレーションデータを用いて計算され、単項式および三項式を用いた表示が得られる。
• この構成は、コックスのトーリック多様体に対する結果を一般化し、トーリックの場合に多項式環構造が回復される。