[論文レビュー] The cut locus and distance function from a closed subset of a Finsler manifold

Minoru Tanaka, Sorin V. Sabău|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2012

Advanced Differential Geometry Research参考文献 23被引用数 22

ひとこと要約

本稿は、2次元のFinsler多様体における閉集合の切断集合の構造定理を確立し、それが可算個のrectifiableなJordan曲線から成る局所的木構造であることを証明している。内接的位相と誘導位相が一致する。また、距離関数の微分可能性をN-セグメントの個数によって特徴づけ、リーマン幾何学の結果を非可逆的Finsler幾何学へ一般化している。

ABSTRACT

We characterize the differentiable points of the distance function from a closed subset $N$ of an arbitrary dimensional Finsler manifold in terms of the number of $N$-segments. In the case of a 2-dimensional Finsler manifold, we prove the structure theorem of the cut locus of a closed subset $N$, namely that it is a local tree, it is made of countably many rectifiable Jordan arcs except for the endpoints of the cut locus and that an intrinsic metric can be introduced in the cut locus and its intrinsic and induced topologies coincide. We should point out that these are new results even for Riemannian manifolds.

研究の動機と目的

• 任意次元のFinsler多様体における閉集合からの距離関数の微分可能性を、N-セグメントの個数を用いて特徴づけること。
• 2次元のFinsler多様体における閉集合の切断集合の構造定理を確立すること。
• 切断集合が局所的木構造であり、内接的距離が導入可能で、内接的位相と誘導位相が一致することを証明すること。
• リーマン幾何学における既知の結果を、特に非可逆的計量についてFinsler幾何学へ拡張すること。
• 最適制御および輸送問題のための基礎的ツールを、距離関数の特異集合を分析することによって提供すること。

提案手法

• 点から閉集合 $ N $ へ至る $ N $-セグメントの個数を用いて、距離関数 $ d_N $ の微分可能性を特徴づける。
• $ N $-セグメント（$ N $ からの距離を最小化する測地線セグメント）の概念を用い、臨界点および切断点を分析する。
• 任意の点が、その近傍内で任意の二点が一意的な弧で結ばれるように、切断集合 $ C_N $ が局所的木構造であることを証明する。
• 1変数連続関数に対するSardの定理を適用し、$ C_N $ 内のJordan曲線上で $ d_N imes c $ の臨界値の集合が零測度であることを示す。
• Gromovのホメオトピー補題およびFinsler計量の性質を用いて、切断集合内の単位速度Jordan曲線上での $ d_N $ の振る舞いを分析する。
• ほとんどすべての $ t $ に対して $ d_N^{-1}(t) $ が互いに交わらない連続曲線の和集合であることを確立する。このとき、各点は高々2つの $ N $-セグメントを有する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Finsler多様体における閉集合 $ N $ からの距離関数がどのような条件下で微分可能となるか。
• RQ2 2次元のFinsler多様体における閉集合の切断集合の位相的および幾何的構造は何か。
• RQ3 切断集合に内接的距離を導入可能か。また、内接的位相と誘導位相が一致するか。
• RQ4 N-セグメントの個数は距離関数の微分可能性とどのように関係するか。
• RQ5 リーマン多様体における切断集合に関する既知の結果が、非可逆的Finsler多様体へどの程度まで拡張可能か。

主な発見

• 2次元のFinsler多様体における閉集合 $ N $ の切断集合は、局所的木構造である。これは、任意の点が、その近傍内で任意の二点が一意的な弧で結ばれるという性質を満たす。
• 切断集合は、端点を除き、可算個のrectifiableなJordan曲線から成る。
• 切断集合に内接的距離を導入可能であり、その内接的位相と誘導位相が一致する。
• ほとんどすべての $ t otin \text{零測度集合 } \tilde{\cal E} $ に対して、等高線 $ d_N^{-1}(t) $ は互いに交わらない連続曲線の和集合である。
• 任意の点 $ q \notin N $ で $ d_N(q) \notin \tilde{\cal E} $ である場合、それは臨界点ではなく、高々2つの $ N $-セグメントを有する。
• これらの結果は、既知のリーマン幾何学の構造定理を一般化しており、特に非可逆的Finsler構造においては、Riemann多様体に対しても新規な結果をもたらしている。