[論文レビュー] The cyclic cycle complex of a surface

Allen Hatcher|ArXiv.org|Jun 2, 2008

Mathematics and Applications参考文献 2被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、閉じた向き付け可能な曲面 $ S $ 上の縮小されたサイクルの同相型をモデル化する、サイクル複体と呼ばれる単体複体 $ C(S) $ を導入する。任意のゼロでないホモロジー類 $ x \in H_1(S) $ に対して、部分複体 $ C_x(S) $ が収縮可能であることを証明しており、固定されたホモロジー類内のサイクルの空間に対する強力な位相的有限性を持つ組み合わせ的モデルを提供する。

ABSTRACT

A contractible simplicial complex is constructed that parametrizes different ways of representing a fixed one-dimensional homology class in a closed orientable surface by isotopy classes of systems of disjoint oriented simple closed curves. This is a variant on an earlier construction of Bestvina-Bux-Margalit.

研究の動機と目的

• 閉じた向き付け可能な曲面 $ S $ 上の縮小されたサイクルの同相型をモデル化する単体複体 $ C(S) $ を構成すること。特にその位相的構造に注目する。
• 固定されたゼロでないホモロジー類 $ x $ を表すサイクルからなる部分複体 $ C_x(S) $ が収縮可能であることを確立すること。
• 与えられたホモロジー類内の曲線系の空間に対する、細胞複体モデル（例：[BBM] より）の代替としての、新しい単体的モデルを提供すること。
• $ C_x(S) $ の次元と構造を分析し、特に $ g > 1 $ の場合に次元が $ 2g-3 $ であることを示すこと。
• ホモトピー型を保ち、幾何学的および位相的技法を用いて収縮性を保証する変形リトラクションと還元手続きを開発すること。

提案手法

• サイクルを、互いに交わらない、向き付けられた、滑らかで単純な閉曲線の有限集合として定義する。サブサイクルが補集合領域を境界に持たないとき、そのサイクルは縮小されたものと呼ばれる。
• 頂点を縮小されたサイクルの同相型として定義し、$ k+1 $ 個の互いに交わらない縮小サイクル $ c_0, \dots, c_k $ が、$ \partial C_i = c_{i+1} - c_i $ （添え字は $ k+1 $ を法とする）を満たすコボルディズム $ C_i $ を境界に持つとき、$ k $ 次元単体を構成する。
• 単体内の点を、$ \sum t_i = 1 $ を満たす線形結合 $ c(t) = \sum t_i c_i $ として、重心座標を用いてパrametrizeする。パrameter空間上での連続なサイクル族を定義する。
• サイクルの二重コラール近傍を介して、$ S \to S^1 $ への滑らかな写像 $ g_t $ を構成する。補集合コボルディズムを点に収縮させ、$ g_t $ が $ C^\infty $ 位相で連続的に変化することを保証する。
• 障害理論を用いて、$ D^{n+1} $ 上のディスクにわたる $ g_t $ の族を拡張する。サードの定理を用いて正則値を選別し、$ c_j(t) = g_t^{-1}(v_j) $ として逆像サイクルを構成する。
• サイクル $ c(t) $ の双対グラフ $ \Gamma_t $ に対して還元手続きを行う：ヌルコボルディズムに対応するソースおよびシンク頂点を、辺の収縮と成分の統合により除去する。これにより、得られるサイクルは常に縮小され、$ t $ に関して連続的であることが保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられたホモロジー類内の縮小サイクルの空間に対する単体複体モデルは存在するか？
• RQ2 固定されたゼロでないホモロジー類 $ x \in H_1(S) $ を表すサイクルからなる部分複体 $ C_x(S) $ の位相的構造は何か？
• RQ3 幾何学的およびホモトピー的技法を用いて、このようなサイクルの空間が収縮可能であることを示せるか？
• RQ4 $ C_x(S) $ の最大次元は何か？ また、これは曲面の genus とどのように関係するか？
• RQ5 原始的サイクルのスターバイリトラクションを構成することで、収縮性を示せるか？

主な発見

• 任意のゼロでないホモロジー類 $ x \in H_1(S) $ に対して、部分複体 $ C_x(S) $ は収縮可能である。これは本稿の主な位相的結果である。
• genus が $ g > 1 $ の曲面に対して、$ C_x(S) $ の次元は正確に $ 2g - 3 $ であり、この上限は鋭い。
• 曲面 $ S $ がトーラスである場合、各非ゼロ $ x $ に対して $ C_x(S) $ は一点である。なぜなら、各ホモロジー類に同相型で一意な縮小サイクルが存在するからである。
• 連続的な変形リトラクションは、$ S \to S^1 $ への滑らかな写像族 $ g_t $ を用いて構成され、正則値の逆像として得られるサイクルが、連続的に変形され、還元される。
• 双対グラフ $ \Gamma_t $ に対する還元手続きにより、ヌルコボルディズムに対応するソースおよびシンク頂点が除去され、ホモトピー型が保たれる連続な縮小サイクル族が得られる。
• 元の $ S^n $ 上のサイクル族は、還元手続きにより縮小された族にホモトープであるため、$ C_x(S) $ 内でホモトピー的にゼロである。これにより $ C_x(S) $ が単連結であり、結局収縮可能であることが示される。