[論文レビュー] The dealternating number and the alternation number of a closed 3-braid

Tetsuya Abe, Kengo Kishimoto|ArXiv.org|Aug 5, 2008

Geometric and Algebraic Topology参考文献 21被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、閉じた3つのブレイドのデアスイッチング数に対する上限を確立し、特定の正の3ブレイドの族、特にトーラス結び目を含む、デアスイッチング数、交差数、トゥラエフ genus を計算する。また、任意に指定されたデアスイッチング数、交差数、ブレイド指数をもつ無限に多くの正の結び目が存在することを証明する。

ABSTRACT

We give an upper bound for the dealternating number of a closed 3-braid. As applications, we determine the dealternating numbers, the alternation numbers and the Turaev genera of some closed positive 3-braids. We also show that there exist infinitely many positive knots with any dealternating number (or any alternation number) and any braid index.

研究の動機と目的

• ブレイド語の構造と語のサブワード分解を用いて、閉じた3ブレイドのデアスイッチング数に対する上限を確立すること。
• 特定のブレイド語形をもつ正の閉じた3ブレイドのクラスについて、デアスイッチング数と交差数を決定すること。
• 特定の(3,3n+i)-トーラス結び目のトゥラエフ genus を計算すること。
• 任意に指定されたデアスイッチング数、交差数、ブレイド指数をもつ無限に多くの正の結び目が存在することを証明すること。

提案手法

• デアスイッチング数を、結び目図の交差を変更することで図が交差的になる最小の交差変更数として定義する。
• 3ブレイドの語を偶数番目・奇数番目の正・負の半回転に分解し、デアスイッチング数に対する上限を導出する。
• 先行研究から得られた交差数の下界を応用し、特定の正の3ブレイドについて正確な値を計算する。
• トゥラエフ表面の構成と genus の最小化を用いて、(3,3n+i)-トーラス結び目のトゥラエフ genus を計算する。
• タングル分解と有理タングルの和の技法を用いて、モンテスィノス結び目および準交差的結び目を分析する。
• タングル図の帰納法と変形規則を用いて、モンテスィノス結び目および準交差的結び目がほとんど交差的であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 閉じた3ブレイドのデアスイッチング数に対する上限は何か？
• RQ2 形式 Δ²ⁿ∏σ₁ᵖⁱσ₂^{qⁱ} の正の閉じた3ブレイド β について、デアスイッチング数と交差数の正確な値は何か？
• RQ3 (3,3n+i)-トーラス結び目 T₃,₃ₙ₊ᵢ のトゥラエフ genus は何か（i=1,2 について）？
• RQ4 任意に指定されたデアスイッチング数、交差数、ブレイド指数をもつ無限に多くの正の結び目が存在するか？
• RQ5 非交差的モンテスィノス結び目および準交差的結び目はすべてほとんど交差的か？

主な発見

• pᵢ,qᵢ≥2 である形式 Δ²ⁿ∏σ₁ᵖⁱσ₂^{qⁱ} の閉じた3ブレイド β について、そのデアスイッチング数は正確に n+r−1 である。
• このような β について、交差数も n+r−1 に等しく、したがって alt(β̂) = dalt(β̂) = n+r−1 である。
• (3,3n+i)-トーラス結び目 T₃,₃ₙ₊ᵢ のトゥラエフ genus は n であり、デアスイッチング数と一致する。
• 任意の m≥0 および n≥3 について、alt(K)=dalt(K)=m かつ b(K)=n を満たす正の結び目が無限に存在する。
• すべての非交差的モンテスィノス結び目および準交差的結び目は、タングルの和と図の変形によりほとんど交差的であることが示された。
• 閉じた3ブレイドのデアスイッチング数に対する上限は、min{|E₊|+|O₋|, |E₋|+|O₊|} で与えられ、ここで E₊, O₋ などはインデックスと符号に基づく語のサブセットである。