[論文レビュー] The Delta-Method and Influence Function in Medical Statistics: a Reproducible Tutorial

Rodrigo Zepeda‐Tello, Michael Schomaker+6 more|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2022

Statistical Methods in Clinical Trials被引用数 6

ひとこと要約

このチュートリアルは、医学統計における分散推定のための古典的および関数的デルタ法および影響関数（IF）を紹介し、リスク比、相関係数、ロジスティック回帰の関数的要因といった複雑な推定量の標準誤差を計算する再現可能で実用的なRおよびPythonコードを提供する。IFを用いることで、高次元または滑らかでない設定ですべての推定が安定し、漸近的に有効な推論が可能になることが示され、疫学・生物統計学の実務家における教育的ギャップを埋める。

ABSTRACT

Approximate statistical inference via determination of the asymptotic distribution of a statistic is routinely used for inference in applied medical statistics (e.g. to estimate the standard error of the marginal or conditional risk ratio). One method for variance estimation is the classical Delta-method but there is a knowledge gap as this method is not routinely included in training for applied medical statistics and its uses are not widely understood. Given that a smooth function of an asymptotically normal estimator is also asymptotically normally distributed, the Delta-method allows approximating the large-sample variance of a function of an estimator with known large-sample properties. In a more general setting, it is a technique for approximating the variance of a functional (i.e., an estimand) that takes a function as an input and applies another function to it (e.g. the expectation function). Specifically, we may approximate the variance of the function using the functional Delta-method based on the influence function (IF). The IF explores how a functional $ϕ(θ)$ changes in response to small perturbations in the sample distribution of the estimator and allows computing the empirical standard error of the distribution of the functional. The ongoing development of new methods and techniques may pose a challenge for applied statisticians who are interested in mastering the application of these methods. In this tutorial, we review the use of the classical and functional Delta-method and their links to the IF from a practical perspective. We illustrate the methods using a cancer epidemiology example and we provide reproducible and commented code in R and Python using symbolic programming. The code can be accessed at https://github.com/migariane/DeltaMethodInfluenceFunction

研究の動機と目的

• 実務的な医学統計家および疫学者の間で広く見られるデルタ法および影響関数（IF）の教育不足に対処すること。
• 理論的漸近統計と実世界の医学研究における実装のギャップを埋めること。
• RおよびPythonを用いた再現可能なコードを用いた包括的で実践的なチュートリアルを提供し、関数的デルタ法およびIFを用いて複雑な推定量の標準誤差を計算すること。
• 高次元およびデータ適応的推定を含む現代の統計的問題におけるIFベースの手法の有用性を示すこと。
• 再サンプリングが不可能な状況において、ブートストラップの代わりまたは併用して、頑健で漸近的に有効な推論手法の採用を支援すること。

提案手法

• 漸近的に正規分布に従う推定量の滑らかな関数の分散を近似するために、一次のテイラー展開を用いた古典的デルタ法を適用する。
• 関数的デルタ法を用いてデルタ法を関数的要因へと拡張し、影響関数（IF）が分散推定の鍵たる役割を果たす。
• 影響関数を経験分布に関する関数の微分として導出し、無限小の汚染が与える影響を表す。
• RおよびPythonにおける記号計算を用いて、リスク比、相関係数、ロジスティック回帰関数的要因などのさまざまな推定量のIFおよび標準誤差を解析的に導出する。
• 経験的影響関数を用いたプラグイン推定量を実装し、観測データから直接分散を計算可能にする。
• がん疫学の事例研究（ロジスティック回帰係数の組み合わせを含む）を通じた実行例による手法の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的デルタ法は、リスク比のような推定量の関数の標準誤差をどのように導出できるか？
• RQ2 影響関数に基づく関数的デルタ法は、分位数や相関係数のような複雑な関数的要因へと古典的手法をどのように拡張するか？
• RQ3 デルタ法が失敗する条件は何か？そして、そのような状況で影響関数がどのように頑健な代替手段として機能するか？
• RQ4 RおよびPythonにおける記号計算を用いて、影響関数を実務的にどのように導出し、実装できるか？
• RQ5 特に高次元またはデータ適応的因果推論の文脈において、IFベースのアプローチがブートストラップを上回る利点を示す状況はどのようなものか？

主な発見

• 影響関数は、非線形および非滑らか関数的要因を含む広範な推定量クラスの漸近的分散を導出する一般化された枠組みを提供する。
• IFに基づく関数的デルタ法は、古典的デルタ法が失敗する状況でも、相関係数や分位数関数といった複雑な推定量に対して正確な標準誤差推定値を提供する。
• リスク比に関しては、古典的デルタ法が得る標準誤差は、実際の推定値と非常に近くなるため、標準疫学的応用において有効であることが裏付けられる。
• 非解析的関数や微分不能な関数の状況では、古典的デルタ法は破綻するが、IFベースのアプローチは依然として有効で計算可能である。
• 本チュートリアルは、ブートストラップが計算的に不可能または一貫性がない高次元またはデータ適応的設定において、IFベースの分散推定が特に優れた利点を示すことを示している。
• 提供されたRおよびPythonコードにより、デルタ法およびIFベースの推論の再現可能でエンドツーエンドの実装が可能となり、実務的医学研究への導入を促進する。