[論文レビュー] The Delta-nabla Calculus of Variations for Composition Functionals on Time Scales

Monika Dryl, Delfim F. M. Torres|arXiv (Cornell University)|Nov 19, 2012

Nonlinear Differential Equations Analysis参考文献 13被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、任意の時刻スケールにおけるデルタおよびナブラ積分からなる汎関数に対して、統一的な変分法の体系を構築し、オイラー＝ラグランジュ方程式、横断的条件、および等周問題における最適性基準を導出する。主な貢献は、デルタおよびナブラ微積分を統合する一般枠組みを提供することであり、連続的および離散的時刻スケールの両方におけるハイブリッド領域における変分解析を可能にし、商問題および制約付き問題への応用を可能にする。

ABSTRACT

We develop the calculus of variations on time scales for a functional that is the composition of a certain scalar function with the delta and nabla integrals of a vector valued field. Euler-Lagrange equations, transversality conditions, and necessary optimality conditions for isoperimetric problems, on an arbitrary time scale, are proved. Interesting corollaries and examples are presented.

研究の動機と目的

• 任意の時刻スケールにおけるデルタおよびナブラ積分の合成からなる汎関数のための包括的な変分法フレームワークを構築すること。
• 初期値または端点境界条件が指定されていない変分問題に対して、必要十分な最適性条件（オイラー＝ラグランジュ方程式および横断的条件を含む）を導出すること。
• 時刻スケール上でのデルタおよびナブラ積分を含む等周問題のための必要条件を確立すること。
• 連続的および離散的領域の両方に適用可能な、デルタおよびナブラ微積分を統合する単一の変分フレームワークを構築すること。
• 具体的な例および系（例：商変分問題および特定の時刻スケール（ℝおよび{0, ½, 1}）における制約付き最適化）を提供すること。

提案手法

• 時刻スケール区間 [a,b] 上におけるベクトル値関数の複数のデルタおよびナブラ積分とスカラー関数 H の合成として変分問題を定式化する。
• デルタおよびナブラ微積分のデュボア＝レイモン補題を適用し、極値関数のための必要条件を導出する。
• ρおよびσ作用素によるデルタおよびナブラ微分および積分の関係を用いて、微積分フレームワークを統合する。
• 許容関数 x の摂動を施し、第一変分をゼロとすることでオイラー＝ラグランジュ方程式を導出する。
• 境界値が固定されていない場合に、端点の変動を用いて横断的条件を確立する。
• ラグランジュ乗数法を適用し、デルタおよびナブラ積分に制約を課えた等周問題の必要条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の時刻スケール上でのデルタおよびナブラ積分の合成汎関数に対して、変分法がどのように拡張可能か。
• RQ2 境界条件が自由または部分的に指定された場合に、このような合成汎関数の必要オイラー＝ラグランジュ方程式は何か。
• RQ3 初期値または端点値が固定されていない場合に、デルタ＝ナブラ変分法における横断的条件はどのように導かれるか。
• RQ4 時刻スケール上でのデルタおよびナブラ積分を含む等周問題の必要最適性条件は何か。
• RQ5 具体的な変分問題において、連続的時間（ℝ）と離散的時間（例：{0, ½, 1}）との間で結果にどのような差が生じるか。

主な発見

• 本稿では、任意の時刻スケール上で有効である、デルタおよびナブラ積分の合成汎関数の一般オイラー＝ラグランジュ方程式を確立した。
• 自由境界問題のため、汎関数および時刻スケールの構造に依存する横断的条件が導出された。
• 系3.6を用いて商変分問題が解かれた。その結果、三次方程式の根に依存する特定の極値関数が得られた。
• 時刻スケール ℝ 上では、特定の等周問題の極値関数は x(t) = 3t² - 2t であり、制約 ∫₀¹ t x∇(t) ∇t = 1 を満たす。
• 時刻スケール {0, ½, 1} 上では、極値関数は区分的定数関数である：t ∈ {0, ½} では x(t) = 0、x(1) = 1 であり、Q = 4 および λ = 6 である。
• 等周問題の解は、時刻スケールに強く依存しており、δおよび∇微分および積分の表現が明確に異なる。