[論文レビュー] The derived category of an \'etale extension and the separable Neeman-Thomason theorem

Paul Balmer|arXiv (Cornell University)|Aug 14, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 22被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、スキームのエタール型写像が導来圏における分離拡張を誘導することを確立し、ネーマン＝トーマソンの局所化定理を、三角圏における分離拡張へ一般化する。コンパクト生成な三角圏に、スモージングで分離可能なモノイドが作用する場合、そのモノイド上の加群の圏は再びコンパクト生成であり、そのコンパクト対象は元のコンパクト対象をスカラー拡張で写した像によって正確に生成されることを示す。

ABSTRACT

We prove that etale morphisms of schemes yield separable extensions of derived categories. We then generalize the Neeman-Thomason Localization Theorem to separable extensions of triangulated categories.

研究の動機と目的

• 三角圏における分離拡張へ、ボウシールド局所化の範囲を超えてネーマン＝トーマソンの局所化定理を拡張すること。
• スキームのエタール型写像が導来圏における分離拡張を誘導することを確立し、既知のザリスキ開埋め込みに対する結果を一般化すること。
• コンパクト生成な三角圏の分離拡張が、再びコンパクト生成となるための一般基準を提供すること。
• このような拡張におけるコンパクト対象の振る舞い、特にスカラー拡張による生成に関して明確にすること。
• 等変設定における部分群への制限やエタール型写像といった、既知のさまざまな例を、分離拡張の枠組みで統一すること。

提案手法

• バルメール（2011）で定義された、三角圏における分離拡張の枠組みを採用し、同時に分離的かつスモージングである正確なモノイドに注目する。
• S における A-ModS である T と、S との間のベース圏と A-加群の圏の間の随伴関係を用いる。ここで A は S 上の分離的かつ正確なモノイドである。
• HR14 の補題 4.4 における一般結果を適用する。右随伴が余積を保存し、かつ保存的であれば、左随伴はコンパクト対象を保存し、かつ標的圏はコンパクト生成である。
• A-加群の圏 T がコンパクト生成であり、Tc = thick(FA(Sc)) であることを確立する。ここで FA はスカラー拡張関手である。
• A がコンパクト対象を保存するならば、(A-ModS)c = A-ModSc が成り立ち、T のすべてのコンパクト対象が、あるコンパクト c ∈ Sc に対して FA(c) の直和成分に一致することを証明する。
• エタール型写像 f: V → X の場合に一般結果を適用する。このときモノイド Af = Rf∗(OV) は Dqcoh(X) 上でスモージングで分離可能なモノイドであることが示され、Dqcoh(V) ≅ Af-ModDqcoh(X) という分離拡張が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ネーマン＝トーマソンの局所化定理は、ボウシールド局所化の範囲を超えて、三角圏における分離拡張へ一般化可能か？
• RQ2 スキームのエタール型写像は、導来圏における分離拡張を誘導するか？また、それらはザリスキの開埋め込みとどのように比較できるか？
• RQ3 コンパクト生成な三角圏の分離拡張が、再びコンパクト生成となるための条件は何か？
• RQ4 拡張におけるコンパクト対象は、元の圏のコンパクト対象とどのように関係しているか？
• RQ5 エタール型写像の導来圏におけるコンパクト対象の正確な記述は、元の圏を用いてどのように与えられるか？

主な発見

• エタール型写像 f: V → X は、ザリスキの開埋め込みに対する既知のボウシールド局所化を一般化して、導来圏における分離拡張を誘導する。
• コンパクト生成な三角圏 S と、S 上のスモージングで分離可能なモノイド A に対して、A-加群の圏 A-ModS はコンパクト生成であり、Tc = thick(FA(Sc)) が成り立つ。
• モノイド A がコンパクト対象を保存するならば、(A-ModS)c = A-ModSc が成り立ち、拡張におけるすべてのコンパクト対象が、あるコンパクト c ∈ Sc に対して FA(c) の直和成分に一致する。
• 分離エタール型写像 f: V → X に対して、Dperf(V) = thick(f∗(Dperf(X))) が成り立つ。これは、コンパクト対象が X からのコンパクト対象の引き戻しによって生成されることを示している。
• 有限エタール型写像に対しては、Dperf(V) ≅ Af-ModDperf(X) が成り立つ。ここで Af = f∗(OV) は X 上のベクトル束であるため、加群の圏は Dperf(X) 上の Af-加群の圏に同値である。
• 本結果は、等変ホモトピー理論や表現論における既知の例を一般化し、エタール拡張が導来圏における分離拡張の自然な例であることを示している。