[論文レビュー] The deterministic limit of the Moran model: a uniform central limit theorem

Fernando Cordero|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2015

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 2被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、変異と選択を伴う大規模集団におけるモーランモデルの適応的個体の割合について、一様中心極限定理を確立する。極限においては決定論的ODEへの収束が示され、摺れ込みはガウス過程に収束する。主な結果は、定常分布が安定平衡点におけるデルタ関数に収束することであり、極限正規分布の明示的な分散が得られる。

ABSTRACT

We consider a Moran model with two allelic types, mutation and selection. In this work, we study the behaviour of the proportion of fit individuals when the size of the population tends to infinity, without any rescaling of parameters or time. We first prove that the latter converges, uniformly in compacts in probability, to the solution of an ordinary differential equation, which is explicitly solved. Next, we study the stability properties of its equilibrium points. Moreover, we show that the fluctuations of the proportion of fit individuals, after a proper normalization, satisfy a uniform central limit theorem in $[0,\infty)$. As a consequence, we deduce the convergence of the corresponding stationary distributions.

研究の動機と目的

• 2つのアレル型、変異、選択を伴うモーランモデルの集団サイズが大きくなる極限を分析すること。時間やパラメータのスケーリングなしに。
• 適応的個体の割合に対する一様大数の法則を確立し、決定論的ODEに収束することを示すこと。
• 決定論的極限周辺の摺れ込みに対する一様中心極限定理を導出すること。
• 有限集団プロセスの定常分布が、ODEの安定平衡点におけるデルタ関数に収束することを証明すること。
• 先行研究における誤りを是正し、定常状態における極限正規分布の分散を厳密に再導出すること。

提案手法

• 密度依存マルコフ連鎖の理論を適用し、集団サイズ $ N \to \infty $ のときのモーラン過程の極限を分析する。
• コンパクト上で一様な大数の法則を証明し、適応的個体の割合が非線形ODEの解に確率的に収束することを示す。
• Dambis-Dubins-Schwartzの定理を用いて、摺れ込み極限過程を時間変換されたブラウン運動として特徴付ける。
• 摺れ込み過程を記述するSDEを明示的に解き、極限正規分布の特性関数および分散を導出する。
• 有限Nプロセスの定常分布が、ODEの唯一の安定平衡点におけるデルタ関数に収束することを確立する。
• 定常状態における極限正規分布の分散に以前の誤りが存在することを是正し、詳細な証明を提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パラメータや時間のスケーリングなしに、集団サイズが無限大に近づくとき、モーランモデルにおける適応的個体の割合の決定論的極限は何か？
• RQ2 大規模集団の枠組みにおいて、適応的個体の割合の摺れ込みはどのように振る舞うか？
• RQ3 有限集団におけるモーラン過程の定常分布の極限分布は何か？
• RQ4 摺れ込み極限過程はガウス過程であるか？ また、時間変換されたブラウン運動として明示的に特徴付けられるか？
• RQ5 有限Nプロセスの定常分布は、決定論的ODEの安定平衡点におけるデルタ関数に弱収束するか？

主な発見

• 適応的個体の割合は、コンパクト上で一様に確率的に収束し、明示的に解ける決定論的ODEの解に収束する。
• ODEの平衡点は安定性について分析され、$ x_0^+ = \frac{\sigma + \nu_1 \sqrt{\Delta}}{2\sigma} $ に唯一の安定平衡点がある。ここで $ \Delta = \sigma^2 + 4\sigma\nu_0\nu_1 $ である。
• 決定論的極限周辺の摺れ込みは、$[0, \infty)$ 上で一様中心極限定理を満たし、極限過程は時間変換されたブラウン運動である。
• 定常分布の極限正規分布の分散は $ \frac{g(x_0^+)}{2\sqrt{\Delta}} $ である。ここで $ g(x) = \sigma x(1-x) + \theta \nu_0 (1-x) - \theta \nu_1 x $ である。
• 定常分布 $ \pi_{Z^N} $ は $ x_0^+ $ におけるデルタ関数に弱収束する。これは、$ \sqrt{N}(Z^N_\infty - x_0^+) $ が平均0、分散 $ \frac{g(x_0^+)}{2\sqrt{\Delta}} $ の正規分布に分布収束することを意味する。
• 本稿では、定常状態における極限正規分布の分散に以前の誤りが存在することを是正し、厳密な導出を提供する。