[論文レビュー] The diameters of commuting graphs of linear groups and matrix rings over the integers modulo m

Michael Giudici, Aedan Pope|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2010

Finite Group Theory Research被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、体でない環 ℤₘ 上の一般線型群 GL(n, ℤₘ) および行列環 M(n, ℤₘ) の可換グラフの連結性と径路長を調査する。合成数 m ≥ 4 および n ≥ 2 に対して、両方の可換グラフが連結であり、径路長が正確に 3 に等しいことを証明し、有限非アーベル群の連結可換グラフの径路長に対する普遍的な上界の予想を支持する。

ABSTRACT

The commuting graph of a group G, denoted by Gamma(G), is the simple undirected graph whose vertices are the non-central elements of G and two distinct vertices are adjacent if and only if they commute. Let Z_m be the commutative ring of equivalence classes of integers modulo m. In this paper we investigate the connectivity and diameters of the commuting graphs of GL(n,Z_m) to contribute to the conjecture that there is a universal upper bound on diam(Gamma(G)) for any finite group G when Gamma(G) is connected. For any composite m, it is shown that Gamma(GL(n,Z_m)) and Gamma(M(n,Z_m)) are connected and diam(Gamma(GL(n,Z_m))) = diam(Gamma(M(n,Z_m))) = 3. For m a prime, the instances of connectedness and absolute bounds on the diameters of Gamma(GL(n,Z_m)) and Gamma(M(n,Z_m)) when they are connected are concluded from previous results.

研究の動機と目的

• ℤₘ という体でない環上の線型群および行列環の可換グラフの連結性と径路長を調査すること。
• 任意の有限非アーベル群 G に対して Γ(G) が連結であるとき、Γ(G) の径路長に対する普遍的な上界が存在するという予想に裏付けを提供すること。
• 従来の体上での可換グラフに関する結果を、合成数 m に対する環 ℤₘ への拡張すること。
• m が合成数で n ≥ 2 のとき、GL(n, ℤₘ) および M(n, ℤₘ) の正確な径路長を確立すること。
• 中心化子の構造を分析し、明示的な経路を構築することで、径路長を特定すること。

提案手法

• m が合成数のとき、中国剰余定理を用いて ℤₘ を互いに素な s, t > 1 に対する ℤₛ × ℤₜ に分解する。
• 補題 2.8 を適用し、与えられた行列 X ∈ M(n, ℤₘ) の中心化子に属するが中心でない要素を構成する。具体的には sA + kI のような組み合わせを用いる。
• スカラー倍と初等行列を用いた行列構成により、非中心の可換要素を生成する。
• 任意の頂点 X と Y の間の経路を、中間頂点 sA + kI および tB + ℓI を通して構築し、長さ 3 の経路を示す。
• 必要に応じて補題 2.3 を用いて構成された要素の可逆性を検証し、中間頂点が GL(n, ℤₘ) に属することを保証する。
• 互いに素な因子分解の結果を組み合わせ、帰納法や分解を用いて、合成数 m 全体にわたる径路長の結果を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 合成数 m および n ≥ 2 に対して、可換グラフ Γ(GL(n, ℤₘ)) が連結となるのはどのような場合か？
• RQ2 m が合成数で n ≥ 2 のとき、Γ(GL(n, ℤₘ)) および Γ(M(n, ℤₘ)) の正確な径路長は何か？
• RQ3 m が素数でない場合でも、環 ℤₘ 上の可換グラフの径路長は普遍的に上界で抑えられるか？
• RQ4 M(n, ℤₘ) および GL(n, ℤₘ) の非中心行列の中心化子はどのように振る舞い、短い経路を構築するために利用できるか？
• RQ5 互いに素な環の積としての ℤₘ の構造は、体の場合と比較して径路長を短縮可能か？

主な発見

• 任意の合成数 m および n ≥ 2 に対して、可換グラフ Γ(GL(n, ℤₘ)) は連結であり、径路長は正確に 3 に等しい。
• 任意の合成数 m および n ≥ 2 に対して、可換グラフ Γ(M(n, ℤₘ)) は連結であり、径路長は正確に 3 に等しい。
• 径路長の上界 3 は、合成数 m および n ≥ 2 全体にわたって一様に成り立ち、有限非アーベル群 G に対して、diam(Γ(G)) の普遍的な上界が存在するという証拠を強力に支持する。
• m が素数の場合、Γ(GL(n, ℤₘ)) および Γ(M(n, ℤₘ)) の径路長は 6 未満に抑えられるが、n や m に依存するよりタイトな上界がある。
• m = 2 かつ n ≥ 5 のとき、Γ(GL(n, ℤ₂)) の径路長は 8 未満であるが、n または n−1 が素数のときはグラフは非連結である。
• 証明は、m の互いに素な因子分解に基づく中心化子の要素を用いて、任意の2つの非中心要素の間で長さ3の明示的経路を構築することに依存する。