[論文レビュー] The Dirichlet boundary problem for second order parabolic operators satisfying Carleson condition

Martin Dindoš, Sukjung Hwang|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2014

Differential Equations and Boundary Problems参考文献 23被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、時間に依存する領域における係数が小さな Carleson 条件を満たす第二順階放物型方程式のディリクレ問題について、$L^p$ 解可能性（$2 \leq p \leq \infty$）を確立する。主な結果は、Carlesonノルムの小さな条件が鋭いこと—すなわち、これを除くと任意の $p$ に対して $L^p$ 解可能性が失敗すること—であり、非接線的 maximal 関数に関する新しい推定式を用いて、先行研究の結果を著しく短縮した証明を提供している。

ABSTRACT

We establish $L^p$, $2\le p\le\infty$ solvability of the Dirichlet boundary value problem for a parabolic equation $u_t-\mbox{div}(A abla u)=0$ on time-varying domains with coefficient matrix $A=(a_{ij})$ that satisfy a small Carleson condition. The result is motivated by similar results for the elliptic equation $\mbox{div}(A abla u)=0$ that were established previously.

研究の動機と目的

• 非対称係数が小さな Carleson 条件を満たす放物型方程式のディリクレ問題の $L^p$ 解可能性を確立すること。
• Carleson ノルムの小さな仮定が鋭いかどうかを示すこと—すなわち、ノルムの小さな条件を除いた場合、任意の $p$ に対して $L^p$ 解可能性が失敗することを示すこと。
• 大きな Carleson 条件の下での $L^p$ 解可能性に関する先行結果の証明を、新しい重要な推定式によって著しく短縮すること。
• 楕円型 Carleson 条件の枠組みを、放物型度合いと境界までの放物型距離を用いて放物型設定へと拡張すること。

提案手法

• 放物型距離 $d[(X,t),(Y,\tau)] = (|X-Y|^2 + |t-\tau|)^{1/2}$ を用いて、楕円型 Carleson 条件を放物型設定に適応する。
• 境界までの放物型距離 $\delta(X,t) = \inf_{(Y,\tau)\in\partial\Omega} d[(X,t),(Y,\tau)]$ を定義する。
• 係数 $a_{ij}$ の振動および $\bm{B}$ のノルムに、それぞれ $\delta(X,t)^{-1}$ および $\delta(X,t)$ を重みとして適用した Carleson 条件を定式化する。
• 微分同相写像を用いて、元の領域を係数の Carleson ノルムが小さい滑らかな領域に写像し、正則化された解の使用を可能にする。
• ハーナック不等式（補題 4.7）を適用して、放物型錐内での解の点ごとの成長を制御する。
• 異なる開口角パラメータを持つ非接線的 maximal 関数の等価性（補題 4.2）を確立し、反復的推定を用いて非接線的 maximal 関数の $L^2$ 界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 係数が小さな放物型 Carleson 条件を満たす場合、放物型ディリクレ問題の $L^p$ 解可能性が保証されるか？
• RQ2 Carleson ノルムの小さな仮定を削除しても、与えられた $p$ に対して $L^p$ 解可能性を失わないか？
• RQ3 大きな Carleson ノルムの下での $L^p$ 解可能性の証明を、新しい重要な推定式によって簡略化できるか？
• RQ4 異なる開口角パラメータを持つ非接線的 maximal 関数が、この放物型設定において等価であるか？
• RQ5 時間に依存するグラフ上の滑らかな係数の座標変換から、自然に放物型 Carleson 条件が生じるか？

主な発見

• 係数の摂動の放物型 Carleson ノルムが十分に小さい限り、$u_t - \text{div}(A\nabla u) - \bm{B}\cdot\nabla u = 0$ の $L^p$ ディリクレ問題は、すべての $p \in [2, \infty]$ に対して解ける。
• Carleson ノルムの小さな仮定は鋭い：任意の $p \in (1, \infty)$ に対して、Carleson 条件を満たすが $L^p$ 解可能性に失敗する作用素が存在する。
• 著者らは、非接線的 maximal 関数に関する重要な推定式（補題 3.3）に依拠する、先行研究の結果の著しく短い証明を提供している。
• 境界データ $f$ に対して、非接線的 maximal 関数 $N(u)$ は $\|N(u)\|_{L^2(\partial\Omega)} \leq C \|f\|_{L^2(\partial\Omega)}$ を満たし、$C$ は領域および楕円的定数にのみ依存する。
• 異なる開口角パラメータを持つ非接線的 maximal 関数の等価性が確立され、$\|N^{4r}(u)\|_{L^2}$ を用いて $\|N^r(u)\|_{L^2}$ の反復的制御が可能になる。
• $L^2$ 界を双対性および拡張法と組み合わせることで、小さな Carleson 条件の下で $p \in [2, \infty]$ の全域にわたる結果が拡張可能である。