[論文レビュー] The Discrete-Time Facilitated Totally Asymmetric Simple Exclusion Process

Sheldon Goldstein, Joel L. Lebowitz+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2020

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、決定的で促進された粒子移動を伴う1次元格子気体モデルである離散時間促進全指向簡易排他過程（F-TASEP）を研究する。密度ρ < 1/2、1/2 < ρ < 2/3、ρ > 2/3の3つの異なる相を特定し、ρ = 1/2およびρ = 2/3で相転移を示し、各レジームに跨る粒子対相関の正確な相関恒等式を確立する。

ABSTRACT

We describe the translation invariant stationary states of the one dimensional discrete-time facilitated totally asymmetric simple exclusion process (F-TASEP). In this system a particle at site $j$ in $Z$ jumps, at integer times, to site $j+1$, provided site $j-1$ is occupied and site $j+1$ is empty. This defines a deterministic noninvertible dynamical evolution from any specified initial configuration on $\{0,1\}^{Z}$. When started with a Bernoulli product measure at density $ρ$ the system approaches a stationary state, with phase transitions at $ρ=1/2$ and $ρ=2/3$. We discuss various properties of these states in the different density regimes $0

研究の動機と目的

• 整数直線上の離散時間F-TASEPの並進不変定常状態を同定すること。
• 臨界密度ρ = 1/2およびρ = 2/3における系の挙動の相転移を特定すること。
• 密度ρのベルヌーイ積測度で初期化された系の長時間挙動を特定すること。
• 異なる密度レジームに跨る粒子対相関g(j) = ⟨η(i)η(i+j)⟩に対する正確な恒等式を確立すること。
• F-TASEPのダイナミクスと定常測度を解析するため、ゼロレンジ過程（TASM）への写像を用いること。

提案手法

• 著者らは、F-TASEPと全指向スタックモデル（TASM）との間の全単射対応を用いる。ここでスタックの高さは、単一の空きマスで分離された粒子クラスタを表す。
• 彼らはTASMを介してダイナミクスを分析し、これは決定的に進化する：各サイトに2個以上の粒子がある場合、毎時刻に右隣のサイトに1つの粒子を送出する。
• 定常状態は、TASMの不変測度を研究し、それをF-TASEPの状態空間に翻訳することで導出される。
• 任意の密度ρ < 1/2の初期状態に対して、系が有限時間内に凍結状態（これ以上の移動が発生しない）に達することを証明する。
• 長さkの区間における対相関の和に対する正確な恒等式を導出する：∑_{j=kn+1}^{k(n+1)} g(j) = kρ²。ここでk=2はρ ≤ 1/2、k=3はρ ≥ 2/3の場合に適用される。
• 中間レジーム1/2 ≤ ρ ≤ 2/3では、数値的シミュレーションに基づき、k=6の場合に同様の恒等式が成り立つと予想する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 異なる粒子密度における離散時間F-TASEPの並進不変定常状態は何か？
• RQ2 臨界密度ρ = 1/2およびρ = 2/3において、系の長時間挙動はどのように変化するか？
• RQ3 各密度レジームにおける対相関関数g(j) = ⟨η(i)η(i+j)⟩の構造は何か？
• RQ4 F-TASEPの定常状態は、ゼロレンジ過程（TASM）への写像によって特徴付けられるか？
• RQ5 定常状態において、固定長の区間における対相関の和に普遍的なスケーリング則が存在するか？

主な発見

• ρ < 1/2の場合、系は有限時間内に凍結状態に達し、定常状態は密度ρの標準的離散時間TASEPまたは密度1−ρの粒子-空き双対と同一である。
• 0 < ρ < 1/2の場合、長さ2の区間における対相関の和は∑_{j=2n+1}^{2(n+1)} g(j) = 2ρ²を満たす。
• 2/3 < ρ < 1の場合、長さ3の区間における対相関の和は∑_{j=3n+1}^{3(n+1)} g(j) = 3ρ²を満たす。
• 中間レジーム1/2 < ρ < 2/3では、数値的証拠に基づき、∑_{j=6n+1}^{6(n+1)} g(j) = 6ρ²が成り立つと予想される。
• 系はρ = 1/2およびρ = 2/3で非平衡相転移を示し、質的に異なるダイナミクス的挙動を分離する。
• 境界条件としてサイト0が常に空である半無限系において、任意のτ不変初期測度のもとで、奇数番目のサイトにおける粒子密度は時間とともに一定のままである。