[論文レビュー] The $ξ,ζ$-Dunford Pettis property

Ryan M. Causey|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2018

Advanced Banach Space Theory被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、可算順序数によってインデックス付けられた弱収束列の階層を用いて、$ξ,\zeta$-Dunford-Pettis性質を導入し、完全連続作用素や弱Banach-Saks作用素といった古典的作用素クラスを一般化する。すべての$0 < \xi, \zeta \leq \omega_1$に対して、クラス$\mathfrak{M}_{\xi,\zeta}$は別個で閉じた作用素イデアルをなしており、スプライティングモデルの性質に関する順序数版の特徴づけを証明する：Banach空間が遺伝的$ω^\xi,\omega^\zeta$-Dunford-Pettis性質を持つことと、すべての半正規化された弱収束列が$\ell_1^{\omega^\xi}$-または$c_0^{\omega^\zeta}$-スプライティングモデルをもつことは同値である。

ABSTRACT

Using the hierarchy of weakly null sequences introduced by Argyros, Merkourakis, and Tsarpalias, we introduce two new families of operator classes. The first family simultaneously generalizes the completely continuous operators and the weak Banach-Saks operators. The second family generalizes the class $\mathfrak{DP}$. We study the distinctness of these classes, and prove that each class is an operator ideal. We also investigate the properties possessed by each class, such as injectivity, surjectivity, and identification of the dual class. We produce a number of examples, including the higher ordinal Schreier and Baernstein spaces. We prove ordinal analogues of several known results for Banach spaces with the Dunford-Pettis, hereditary Dunford-Pettis property, and hereditary by quotients Dunford-Pettis property. For example, we prove that for any $0\leqslant ξ, ζ

研究の動機と目的

• 可算順序数によってインデックス付けられた弱収束列の階層を用いて、古典的なDunford-Pettis性質および関連する作用素クラスを一般化すること。
• $A:X\to Y$ がすべての$\xi$-弱収束列$(x_n) \subset X$ およびすべての$\zeta$-弱収束列$(y_n^*) \subset Y^*$ に対して$\lim_n y_n^*(A x_n) = 0$ を満たすような作用素からなるクラス$\mathfrak{M}_{\xi,\zeta}$を定義し、それらを研究すること。
• すべての$0 < \xi, \zeta \leq \omega_1$に対して、$\mathfrak{M}_{\xi,\zeta}$ が適切で、非単射でも非全射でも非対称でもない作用素イデアルであることを確立すること。
• $\xi,\zeta$-Dunford-Pettis性質の遺伝的および商空間版を調査し、特にスプライティングモデルによる特徴づけを含むこと。

提案手法

• Argyros, Merkourakis, and Tsarpalilas [3] が導入した弱収束列の順序数階層を用い、$0 < \xi \leq \omega_1$ に対して$\xi$-弱収束列を定義する。ここで$\xi$は弱収束列をノルム収束にするために必要な凸ブロック列の複雑さを測る。
• クラス$\mathfrak{M}_{\xi,\zeta}$ を、すべての$\xi$-弱収束列$(x_n) \subset X$ およびすべての$\zeta$-弱収束列$(y_n^*) \subset Y^*$ に対して$\lim_n y_n^*(A x_n) = 0$ を満たす作用素$A:X\to Y$ の集合として定義する。これは古典的作用素クラス$\mathfrak{DP}$を一般化する。
• Schreier空間およびBaernstein空間の構成を用いて、$\textsf{M}_{\xi,\zeta}$ に属する空間の例を生成する。特に、$\xi$-弱収束基底をもつ$X_\xi$-空間を用いる。
• $\mathcal{S}_\xi$-スプライティングモデルおよび凸ブロック技法を用いて、Banach空間$X$ が遺伝的$\omega^\xi,\omega^\zeta$-Dunford-Pettis性質を持つことと、すべての半正規化された弱収束列が$\ell_1^{\omega^\xi}$-または$c_0^{\omega^\zeta}$-スプライティングモデルをもつことは同値であることを証明する。
• 商空間および$\ell_1$-和の構成を用いて、階層の厳密性を示す反例を構成する。$\xi,\zeta > 0$ に対して、$X \in \textsf{wBS}_\xi$, $Y \in \textsf{wBS}_\zeta$ だが、$X \oplus_1 Y \notin \textsf{wBS}_\gamma$ となるような空間$X$ と$Y$ が存在し、$\gamma < \xi + \zeta$ のとき、クラスの非自明性を示す。
• 一様弱収束性の原理および$\mathcal{S}_\xi$-木による凸ブロック選択を用いて、ノルム推定値における矛盾を導出し、特定の列が$\gamma < \xi + \zeta$ に対して$\gamma$-弱収束でないことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的作用素クラスのDunford-Pettis性質は、順序数によってインデックス付けられた弱収束性の階層を用いてどのように一般化できるか？
• RQ2 $\mathfrak{M}_{\xi,\zeta}$ の構造的性質、たとえば作用素イデアルをなすかどうか、および単射性、全射性、対称性の有無は何か？
• RQ3 Banach空間における$\xi,\zeta$-Dunford-Pettis性質とスプライティングモデルの関係は何か？
• RQ4 すべての半正規化された弱収束列に$\ell_1^{\omega^\xi}$-または$c_0^{\omega^\zeta}$-スプライティングモデルが存在するという性質によって、$\xi,\zeta$-Dunford-Pettis性質の遺伝的版を特徴づけられるか？
• RQ5 クラス$\mathfrak{M}_{\xi,\zeta}$ は$\xi$ および$\zeta$ に関して真に増加するか？ その厳密性は反例によってどのように示せるか？

主な発見

• $\mathfrak{M}_{\xi,\zeta}$ はすべての$0 < \xi, \zeta \leq \omega_1$ に対して閉じた作用素イデアルであり、単射でも全射でもない。
• 異なる対$(\xi, \zeta)$ に対して、$\mathfrak{M}_{\xi,\zeta}$ は互いに別個であり、作用素クラスの適切な階層を確立する。
• 任意の$0 < \xi, \zeta < \omega_1$ に対して、Banach空間$X$ が遺伝的$\omega^\xi, \omega^\zeta$-Dunford-Pettis性質を持つことと、$X$ 内のすべての半正規化された弱収束列が$\ell_1^{\omega^\xi}$-スプライティングモデルまたは$c_0^{\omega^\zeta}$-スプライティングモデルをもつ部分列をもつことは同値である。
• $\mathfrak{M}_{\xi,\zeta}$ は完全連続作用素と弱Banach-Saks作用素の両方を一般化し、それらを共通の順序数的枠組みで統合する。
• 本稿は、$\mathfrak{M}_{\xi,\zeta}$ が対称でないことを示す例を構成し、$X \in \textsf{wBS}_\xi$, $Y \in \textsf{wBS}_\zeta$ だが、$X \oplus_1 Y \notin \textsf{wBS}_\gamma$（$\gamma < \xi + \zeta$）となる非自明な例を提供する。これにより、階層の厳密性が証明される。
• クラス$\mathfrak{M}_{\xi,\zeta}$ の双対クラスが特定され、このクラスが合成および有限和に関して閉じていることが示され、イデアル構造の確認がなされる。