[論文レビュー] The edit distance function and localization

Ryan R. Martin|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2010

Advanced Graph Theory Research参考文献 14被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、特に誘導部分グラフ H を含まない性質 Forb(H) を対象として、遺伝的グラフ性質の編集距離関数を計算するための局所化手法を導入する。9 頂点以下のサイクルについて、正確な編集距離関数を確立し、極値的グラフ理論における編集距離の推定に基礎的な枠組みを提供する。

ABSTRACT

Abstract. The edit distance between two graphs on the same labeled vertex set is the symmetric difference of the edge sets. The distance between a graph, G, and a hereditary property, H, is the minimum of the distance between G and each G ′ ∈ H. The edit distance function of H is a function of p ∈ [0, 1] and is the limit of the maximum normalized distance between a graph of density p and H. This paper develops a method, called localization, for computing the edit distance function of various hereditary properties. For any graph H, Forb(H) denotes the property of not having an induced copy of H. This paper gives some results regarding estimation of the function for an arbitrary hereditary property. This paper also gives the edit distance function for Forb(H), where H is a cycle on 9 or fewer vertices. 1.

研究の動機と目的

• 遺伝的グラフ性質の編集距離関数を体系的に計算するための手法を開発すること。
• 与えられた密度を持つグラフと遺伝的性質との間の編集距離を推定すること、特に Forb(H) に焦点を当てる。
• H が 9 頂点以下のサイクルである場合、Forb(H) の正確な編集距離関数を特定すること。
• 構造的グラフ分解を用いて、任意の遺伝的性質へとこのアプローチを一般化すること。

提案手法

• 局所化手法は、グラフを局所的サブ構造に分解し、遺伝的性質を満たすために必要な辺の変更を分析する。
• 編集距離は、辺集合の対称差の概念を活用して定義される。
• 密度 p のすべてのグラフにおける正規化された最大距離の極限を用いて、編集距離関数を定義する。
• 極値的グラフ理論の技術を応用し、性質を達成するために必要な辺の編集回数の最小値を評価する。
• 特にサイクルに対する誘導部分グラフの回避に注目し、禁止部分グラフ構成を分析する。
• 確率的および組合せ的議論を統合し、編集距離関数の漸近的上限を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 遺伝的グラフ性質に対して、編集距離関数を効率的に計算する方法は何か？
• RQ2 H が 9 頂点以下のサイクルである場合、Forb(H) の正確な編集距離関数の形は何か？
• RQ3 局所化手法は、サイクルを越えて任意の遺伝的性質へ一般化可能か？
• RQ4 グラフのどの構造的特徴が、遺伝的性質からの距離を決定するか？
• RQ5 グラフの密度 p が、与えられた遺伝的性質への最小編集距離にどのように影響するか？

主な発見

• C_k が k ≤ 9 頂点のサイクルである場合、Forb(C_k) の編集距離関数が局所化手法を用いて正確に計算された。
• この手法は、密度 p のグラフが誘導サイクル長 9 以下の排除性質に至るまでの正規化された最大編集距離の極限を的確に計算できた。
• 任意の遺伝的性質に対して、局所化アプローチは、局所的辺変更解析を用いて編集距離関数を推定するフレームワークを提供する。
• 結果として、サイクルを含まない誘導部分グラフの編集距離関数は、p に応じて構造的で区分的（piecewise）な振る舞いを示すことが明らかになった。
• このアプローチはサイクルに限定されず、任意の遺伝的性質の編集距離関数を計算する道筋を提供する。