[논문 리뷰] The Elliptic Drinfeld Center of a Premodular Category

Ying Hong Tham|arXiv (Cornell University)|2019. 04. 20.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 19인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 전모듈라 카테고리 C에서 유도된 새로운 브레디드 모노이드 카테고리인 타원 Drinfeld 중심 Zel(C)을 소개한다. 여기서 객체는 호환 가능한 반 브레디드링 λ₁과 λ₂를 가진 쌍 (X, λ₁, λ₂)로 구성된다. 이 구성은 Drinfeld 중심을 일반화하며, Reshetikhin-Turaev TQFT의 이상성과 관련된 SL₂(ℤ)-작용을 지닌다. 주요 결과로는 C가 모듈라일 때 Zel(C)가 표준 함자에 의해 C와 동치임을 보이며, 이는 한 번 구멍이 난 토러스에 관련된 카테고리의 좌표 표현을 확립한다.

ABSTRACT

Given a tensor category C, one constructs its Drinfeld center Z(C) which is a braided tensor category, having as objects pairs (X, lambda), where X in Obj(C) and lambda is a half-braiding. For a premodular category C, we construct a new category Zel(C) which we call the Elliptic Drinfeld Center, which has objects (X, lambda1, lambda2), where the lambda i's are half-braidings that satisfy some compatibility conditions. We discuss an SL2(Z)-action on Zel(C) that is related to the anomaly appearing in Reshetikhin-Turaev theory. This construction is motivated from the study of the extended Crane-Yetter TQFT, in particular the category associated to the once punctured torus.

연구 동기 및 목표

• 전모듈라 카테고리에 대해 Drinfeld 중심을 일반화하는 새로운 카테고리적 구성, 즉 타원 Drinfeld 중심 Zel(C)을 정의하는 것.
• Zel(C)와 확장된 Crane-Yetter TQFT, 특히 한 번 구멍이 난 토러스에 관련된 카테고리 간의 연결을 설정하는 것.
• C가 모듈라일 때 Zel(C)가 중간 유도 함자를 포함하는 표준 함자를 통해 C와 동치임을 보이는 것.
• Zel(C)에서의 SL₂(ℤ)-대칭의 역할과 Reshetikhin-Turaev TQFT의 이상성과의 관계를 탐색하는 것.
• 브레디드 호프 대수 H에 대해 브레디드 호프 대수의 타원 Drinfeld 듀얼 델타(H)인 타원 Drinfeld 듀얼 델타(H)를 도입하여 Drinfeld 듀얼 구성의 일반화를 시도하는 것.

제안 방법

• λ₁와 λ₂가 브레딩과 특정 호환 조건을 만족하는 전모듈라 카테고리 C 내 객체 (X, λ₁, λ₂)의 집합으로서 Zel(C)를 정의한다.
• C의 텐서 곱과 브레딩을 올리기 통해 Zel(C)에 모노이드 구조를 구성한다.
• 생성 곡선의 쌍에 대해 λ₁과 λ₂를 사용하여 한 번 구멍이 난 토러스에 관련된 ZCY(T²₁) 카테고리에 데이터를 할당하는 함자를 정의한다.
• TQFT 접합과 이상성 구조에 기반한 토러스의 위상적 변형을 통해 Zel(C)에 SL₂(ℤ)-작용을 수립한다.
• C가 모듈라일 경우, 중간 유도 함자 I₁과 표준 포함 함자 ι의 복합함수 i = I₁ ∘ ι: C → Zel(C)가 아벨 카테고리의 동치임을 증명한다.
• C = H-mod이고 H가 브레디드 호프 대수일 경우, 타원 Drinfeld 듀얼 델타(H)를 구성하고 Zel(C) ≅ Del(H)-mod임을 아벨 카테고리로서 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 확장된 TQFT에서 한 번 구멍이 난 토러스에 관련된 카테고리의 구조를 포괄하기 위해 Drinfeld 중심 구성은 어떻게 일반화될 수 있는가?
• RQ2 두 반 브레딩링 λ₁과 λ₂가 잘 정의된 카테고리 Zel(C)를 정의하기 위해 만족해야 할 호환 조건은 무엇인가?
• RQ3 Zel(C)에서의 SL₂(ℤ)-작용은 Reshetikhin-Turaev TQFT의 이상성과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 언제 Zel(C)가 입력된 전모듈라 카테고리 C와 동치가 되는가?
• RQ5 타원 Drinfeld 듀얼 델타(H)는 Brochier와 Jordan가 정의한 타원 듀얼과 Morita 동치인가?

주요 결과

• C가 모듈라일 경우, 복합함수 i = I₁ ∘ ι: C → Zel(C)는 아벨 카테고리의 동치를 이룬다. 이는 Zel(C)가 모듈라 경우 C를 회복함을 보여준다.
• Zel(C)는 자연스러운 모노이드 구조를 지니며, 이는 전모듈라 입력과 호환되는 브레디드 텐서 카테고리임을 보장한다.
• Zel(C)는 한 번 구멍이 난 토러스의 위상적 변형에서 유래하는 SL₂(ℤ)-작용을 지닌다. 이는 TQFT의 이상성과 연결된다.
• C = H-mod이고 H가 브레디드 호프 대수일 경우, Zel(C)는 타원 Drinfeld 듀얼 델타(H)의 모듈러 카테고리와 동치이다.
• Zel(C)의 구성은 생성 곡선의 쌍에 반 브레딩링을 할당하여 ZCY(T²₁)에 관련된 카테고리의 좌표 표현을 제공한다.
• λ₁과 λ₂에 대한 호환 조건은 결과 카테고리 Zel(C)가 잘 정의되어 있으며, 텐서 곱과 쌍대에 대해 닫혀 있음을 보장한다.