[論文レビュー] The energy-momentum tensor as a second fundamental form

Bertrand Morel|ArXiv.org|Feb 18, 2003

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 10被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、スピン場のエネルギー運動量テンソルと一般化されたワーペッド積多様体内の超曲面の第二基本形式の間の幾何的対応関係を確立する。エネルギー運動量テンソルを第二基本形式として持つリーマン多様体を構成することで、著者らは、このテンソルが平行またはプロジェクターである場合、環境多様体がリッチ平坦になることを示した—これはバールの錐に関する結果を拡張し、T-キリングスピンォル理論を一般化するものである。

ABSTRACT

We show that it is natural to consider the energy-momentum tensor associated with a spinor field as the second fundamental form of an isommetric immersion. In particular we give a generalization of the warped product construction over a Riemannian manifold leading to this interpretation. Special sections of the spinor bundle, generalizing the notion of Killing spinor, are studied. First applications of such a construction are then given.

研究の動機と目的

• エネルギー運動量テンソルを超曲面の第二基本形式として幾何的に解釈すること。
• ワーペッド積構成を一般化し、リーマンスピン多様体をより大きな多様体内の超曲面として埋め込むこと。
• ヒジャジの固有値不等式の極限ケースを特別なスピンォル場を用いて特徴付けること。
• キリングスピンォルに関する結果を、特にエネルギー運動量テンソルがプロジェクターである場合に、T-キリングスピンォルへと拡張すること。
• 一般化された錐構成がリッチ平坦多様体をもたらす条件を調査すること。

提案手法

• エネルギー運動量テンソル $T^\psi$ を基底計量の変形として用いて、多様体 $× I$ 上に一般化されたワーペッド積計量を構成する。
• テンソル $h$ を $T^\psi$ に付随する対称2次テンソルとし、$h$ が平行であると仮定して、$g_t = g + (t^2 - 1)h$ という計量の族を定義する。
• スピンォルのガウス公式を用いて、基底上のスピン接続と一般化された錐における環境接続を関連付ける。
• T-キリングスピンォルを、$T^\psi$ を含む一般化された平行性条件を満たすスピンォルバンドルの切断として定義する。
• 一般化された錐の曲率計算を適用し、リーマンおよびリッチテンソルの明示的表現を導出する。
• $G_t = \mathrm{Id} + (t^2 - 1)H$ を用いた正規直交フレームの持ち上げを用いてリッチ曲率成分を計算し、リッチ平坦性条件を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スピン場のエネルギー運動量テンソルは、超曲面の第二基本形式として幾何的に解釈可能か？
• RQ2 一般化されたワーペッド積構成が、環境多様体をリッチ平坦にする条件は何か？
• RQ3 エネルギー運動量テンソルが計量の倍数でない場合、キリングスピンォルの概念はどのように一般化されるか？
• RQ4 平行な対称テンソルが、基底が第二基本形式 $T^\psi$ を持つ超曲面として埋め込まれた環境多様体を構成する役割を果たす条件は何か？
• RQ5 ヒジャジの不等式の極限ケースは、エネルギー運動量テンソルがプロジェクター値をとる T-キリングスピンォルの存在によって特徴付けられるか？

主な発見

• T-キリングスピンォル場のエネルギー運動量テンソル $T^\psi$ は、一般化されたワーペッド積多様体内の超曲面の第二基本形式として実現可能である。
• エネルギー運動量テンソル $T^\psi$ が対称的プロジェクターである場合、一般化された錐 $× I$ はリッチ平坦であり、これはバールによる実キリングスピンォルを持つ多様体上の錐に関する結果を一般化する。
• エネルギー運動量テンソル $T^\psi$ に対応する平行な対称テンソル $H$ に対して、一般化された錐のリッチ曲率が明示的に計算され、プロジェクター条件のもとで消失することが示された。
• $h = g$ の場合、この構成は通常の錐を回復し、そのとき T-キリングスピンォルはキリング数 $\frac{1}{2}$ を持つ実キリングスピンォルに対応する。
• ヒジャジの不等式 $\lambda^2 \geq \inf_M(\frac{1}{4}S + |T^\psi|^2)$ の極限ケースは、T-キリングスピンォルの存在によって幾何的に特徴付けられる。
• この方法により、リッチ平坦錐の特徴付けが、プロジェクターを含む平行な部分空間への対称自己準同型へとより一般的に拡張された。