[論文レビュー] The equivalence relations of local homeomorphisms and Fell algebras

Lisa Orloff Clark, Astrid an Huef+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2012

Advanced Operator Algebra Research参考文献 24被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、$ Y $ がハウスドルフ空間であるような商写像 $ \psi: Y \to X $ から生じる群コホモロジー $ C^*(R(\psi)) $ が、モリタ同値に関して自明なディクスミエ＝ドウディ不変量をもつフェル代数であることが同定される。本研究は、アルクボルドとサザーランドのフェル代数の特徴付けを主群コホモロジーへ拡張し、ねじれ群コホモロジー $ C^* $-代数を用いて非自明なディクスミエ＝ドウディ不変量をもつフェル代数の具体例を構成する。

ABSTRACT

We study the groupoid C*-algebras associated to the equivalence relation induced by a quotient map on a locally compact Hausdorff space. This C*-algebra is always a Fell algebra, and if the quotient space is Hausdorff, it is a continuous-trace algebra. We show that the C*-algebra of a locally compact, Hausdorff and principal groupoid is a Fell algebra if and only if the groupoid is one of these relations, extending a theorem of Archbold and Somerset about etale groupoids. The C*-algebras of these relations are, up to Morita equivalence, precisely the Fell algebras with trivial Dixmier-Douady invariant as recently defined by an Huef, Kumjian and Sims. We use twisted groupoid algebras to provide examples of Fell algebras with non-trivial Dixmier-Douady invariant.

研究の動機と目的

• $ Y $ がハウスドルフ空間であるような商写像 $ \psi: Y \to X $ から生じる同値関係に伴う群コホモロジー $ C^*(R(\psi)) $ とフェル代数を関連付けること。
• アルクボルドとサザーランドのフェル代数に関する結果を、主群コホモロジーへ拡張し、$ C^*(G) $ がフェル代数であることと、ある商写像 $ \psi $ に対して $ G $ が $ R(\psi) $ と位相的に同型であることの必要十分条件を示すこと。
• ねじれ群コホモロジー $ C^* $-代数を用いて、非自明なディクスミエ＝ドウディ不変量をもつフェル代数の明示的構成を行うこと。
• フェル代数における新しいディクスミエ＝ドウディ不変量 $ \delta(A) $ と連続的トレース代数における古典的不変量 $ \delta_{\text{DD}}(A) $ の間の正確な関係を明確化すること。
• 分離可能であるが、スペクトルがパラコンパクトでないフェル代数が存在することを示し、非ハウスドルフスペクトルかつ非ゼロの $ \delta(A) $ をもつフェル代数を構成すること。

提案手法

• $ Y $ を局所コンパクトハウスドルフ空間とする商写像 $ \psi: Y \to X $ から、同値関係 $ R(\psi) \subset Y \times Y $ を構成する。
• もし $ \psi $ が全単射な局所ホメオモルフィズムであれば、$ R(\psi) $ はエタール的かつ主的で、かつ軌道空間が $ X $ とホメオモルフィックであることを示す。
• もし $ Y $ がハウスドルフであれば、$ C^*(R(\psi)) $ がフェル代数であることを証明し、さらに $ X $ と $ Y $ が両方ハウスドルフであれば、連続的トレース代数でもあることを示す。
• $ R(\psi) $ 上のねじれ群コホモロジー $ C^* $-代数 $ C^*(G, \sigma) $ を用いて、非自明なディクスミエ＝ドウディ不変量 $ \delta(A) \neq 0 $ をもつフェル代数を構成する。
• $ C^*(G) $ がフェル代数であることと、ある商写像 $ \psi $ に対して $ G $ が $ R(\psi) $ と位相的に同型であることの必要十分条件を示し、アルクボルドとサザーランドの結果を拡張する。
• ねじれ群コホモロジー代数の構成を用いて、$ \delta(A) = 0 $ であることと、$ A $ が $ C^*(R(\psi)) $ とモリタ同値であることの必要十分条件を示し、定理6.1を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 主的で、局所コンパクトかつハウスドルフな群コホモロジー $ G $ の群コホモロジー $ C^*(G) $ がフェル代数であるのはいつか？
• RQ2 フェル代数における新しいディクスミエ＝ドウディ不変量 $ \delta(A) $ と連続的トレース代数における古典的不変量 $ \delta_{\text{DD}}(A) $ の正確な関係は何か？
• RQ3 非自明なディクスミエ＝ドウディ不変量 $ \delta(A) \neq 0 $ をもつフェル代数の具体例を構成できるか？
• RQ4 フェル代数のスペクトルがもつことのできる位相的性質は何か。特に、パラコンパクト性やハウスドルフ性との関係は？
• RQ5 C*-代数における連続的トレース要素のイデアルが、連続的トレース代数のスペクトルと等しくなる条件は何か？

主な発見

• $ Y $ がハウスドルフ空間であるような商写像 $ \psi: Y \to X $ に対して、関連する $ C^*(R(\psi)) $ はフェル代数である。
• もし $ X $ と $ Y $ が両方ハウスドルフであれば、$ C^*(R(\psi)) $ は連続的トレースをもつ。
• 局所コンパクトかつハウスドルフで、主群コホモロジーである $ G $ に対して、$ C^*(G) $ がフェル代数であることと、ある商写像 $ \psi $ に対して $ G $ が $ R(\psi) $ と位相的に同型であることの必要十分条件である。
• $ C^*(R(\psi)) $ は、アヌーフ、カムビアン、サムズが定義した自明なディクスミエ＝ドウディ不変量 $ \delta(A) = 0 $ をもつフェル代数を、モリタ同値を除いてすべて網羅する。
• $ R(\psi) $ 上のねじれ群コホモロジー $ C^* $-代数は、非自明なディクスミエ＝ドウディ不変量 $ \delta(A) \neq 0 $ をもつフェル代数の具体例を提供する。
• フェル代数 $ A $ に対して $ \delta(A) = 0 $ であれば、連続的トレースをもつすべてのイデアル $ I \subset A $ に対して $ \delta_{\text{DD}}(I) = 0 $ が成り立ち、非ゼロの $ \delta(A) $ は計算可能な不変量によって検出可能である。