[論文レビュー] The equivariant cohomology rings of regular nilpotent Hessenberg varieties in Lie type A: a research announcement

Hiraku Abe, Megumi Harada+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2014

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 19被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、Hessenberg関数 $ h $ を用いて定義されるタイプAの正則冪零Hessenberg多様体の、S^1作用に関する等化コホモロジー環の明示的生成子と関係式を計算する体系的なアルゴリズムを提示する。主な貢献は、ペトーセン多様体およびフルフラッグ多様体の既知の提示を回復する一様な手法であり、フラッグ多様体のコホモロジーからHessenberg多様体への制限写像の上への性質を証明することにある。

ABSTRACT

Let $n$ be a fixed positive integer and $h: \{1,2,...,n\} ightarrow \{1,2,...,n\}$ a Hessenberg function. The main result of this manuscript is to give a systematic method for producing an explicit presentation by generators and relations of the equivariant and ordinary cohomology rings (with $\mathbb{Q}$ coefficients) of any regular nilpotent Hessenberg variety $\mathrm{Hess}(h)$ in type A. Specifically, we give an explicit algorithm, depending only on the Hessenberg function $h$, which produces the $n$ defining relations $\{f_{h(j),j}\}_{j=1}^n$ in the equivariant cohomology ring. Our result generalizes known results: for the case $h=(2,3,4,...,n,n)$, which corresponds to the Peterson variety $\mathrm{Pet}_n$, we recover the presentation of $H^*_S(\mathrm{Pet}_n)$ given previously by Fukukawa, Harada, and Masuda. Moreover, in the case $h=(n,n,...,n)$, for which the corresponding regular nilpotent Hessenberg variety is the full flag variety $\mathrm{Flags}(\mathbb{C}^n)$, we can explicitly relate the generators of our ideal with those in the usual Borel presentation of the cohomology ring of $\mathrm{Flags}(\mathbb{C}^n)$. The proof of our main theorem includes an argument that the restriction homomorphism $H^*_T(\mathrm{Flags}(\mathbb{C}^n)) o H^*_S(\mathrm{Hess}(h))$ is surjective. In this research announcement, we briefly recount the context and state our results; we also give a sketch of our proofs and conclude with a brief discussion of open questions. A manuscript containing more details and full proofs is forthcoming.

研究の動機と目的

• タイプAの正則冪零Hessenberg多様体の等化コホモロジー環の均一的でアルゴリズム的な提示を提供すること。
• ペトーセン多様体およびフルフラッグ多様体に関する先行結果を、任意のHessenberg関数に一般化すること。
• フラッグ多様体の等化コホモロジーからHessenberg多様体への制限準同型の上への性質を確立すること。
• これらの多様体における加法的基底の構成およびシューベルト計算の研究のための枠組みを提供すること。
• 正則冪零Hessenberg多様体と正則半単純Hessenberg多様体のコホモロジー環の関係を調査すること。

提案手法

• この方法は、Hessenberg関数 $ h $ によって添え字づけられる $ n $ 個の明示的関係式 $ f_{h(j),j} $ を用いて、$ \mathbb{Q}[x_1,\dots,x_n,t] $ 内の多項式生成子を通じて等化コホモロジー環を構成する。
• この手法は、鍵となる技術的結果に依存している：正則冪零Hessenberg多様体に対して、制限写像 $ H^*_T(\mathcal{F}\ell ags(\mathbb{C}^n)) \to H^*_S(\operatorname{Hess}(h)) $ は上への写像である。
• 証明は局所化技術を用い、$ R = \mathbb{Q}[t]\setminus\{0\} $ 上での局所化コホモロジー環を含む可換図式を比較することで行われる。
• 全フラッグ多様体の場合（$ h = (n,\dots,n) $）における同型の検証により、この構成が正当化される。この場合、生成子はBorelの提示におけるチャーレルス類に一致する。
• この手法はペトーセン多様体の場合（$ h = (2,3,\dots,n,n) $）に拡張され、Fukukawa, Harada, および Masuda が得た既知の提示が回復される。
• 局所化定理を用いて、局所化された制限写像が同型であることを示し、これにより、単射性が確認された後、元の写像 $ \varphi_h $ が同型であることが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 タイプAの任意の正則冪零Hessenberg多様体の等化コホモロジー環に対して、均一的でアルゴリズム的な提示を構築できるか？
• RQ2 正則冪零Hessenberg多様体のコホモロジー環は、フルフラッグ多様体およびペトーセン多様体のそれらとどのように関係するか？
• RQ3 フラッグ多様体の等化コホモロジーからHessenberg多様体への制限準同型は上への写像か？
• RQ4 Mbirika-Tymoczkoの提示と、正則冪零Hessenberg多様体の実際のコホモロジー環との関係は何か？
• RQ5 一般の正則冪零Hessenberg多様体の等化コホモロジーに対して、シューベルト計算型の基底を構成できるか？

主な発見

• 等化コホモロジー環 $ H^*_S(\operatorname{Hess}(h)) $ は、Hessenberg関数 $ h $ によって明示的に定まる $ n $ 個の関係式 $ f_{h(j),j} $ を用いた生成子と関係式の提示を持つ。
• $ h = (n,n,\dots,n) $ の場合、イデアルの生成子は、$ H^*(\mathcal{F}\ell ags(\mathbb{C}^n)) $ のBorel提示におけるチャーレルス類に正確に一致する。
• ペトーセン多様体（$ h = (2,3,\dots,n,n) $）の場合、本手法によりFukukawa, Harada, および Masuda が得た既知の提示が回復される。
• 制限写像 $ H^*_T(\mathcal{F}\ell ags(\mathbb{C}^n)) \to H^*_S(\operatorname{Hess}(h)) $ は上への写像であり、これは文献において以前に証明されていなかった結果である。
• 局所化写像 $ R^{-1}\varphi_h $ は同型であり、これにより、単射性が確認された後、元の写像 $ \varphi_h $ が同型であることが示される。
• Mbirika-Tymoczko環は、$ n \geq 3 $ の場合、$ H^*(\operatorname{Hess}(h)) $ と同型ではないが、同じベッチ数を持つ。