[論文レビュー] The equivariant Toda lattice, I

Ezra Getzler|ArXiv.org|Jul 2, 2002

Advanced Algebra and Geometry参考文献 7被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、形式的パラメータ $\nu$ を用いた制約 $(\delta_1 - \bar{\delta}_1)L = \nu \partial L$ によって定義される無限次元 Toda 格子の還元として、等変 Toda 格子を導入し、その微分イデアルが運動量の保存量に関する商代数と自由代数のテンソル積と同型であることを証明する。主な結果として、等変 Toda 格子の分散なし極限と $\mathbb{CP}^1$ の等変 Gromov-Witten ポテンシャルの間の正確な対応関係を示し、Toda 方程式および位相的再帰関係を用いて、その予想を確認する。

ABSTRACT

We study a reduction of the Toda lattice in the limit of infintesimal lattice spacing. Using this reduction, we formulate a conjecture for the equivariant Gromov-Witten invariants of the sphere, which we prove in genus 0. This conjecture follows from recent work of Okounkov and Pandharipande (math.AG/0207233), combined with results from the sequel to this paper.

研究の動機と目的

• Toda 格子の新しい還元、すなわち形式的パラメータ $\nu$ を含む制約を課すことによって定義される等変 Toda 格子を定義し、その性質を研究すること。
• 等変 Toda 格子の微分イデアルと、運動量の保存量に関する商代数と自由代数のテンソル積との同型を確立すること。
• 等変 Toda 格子の分散なし極限が、$\mathbb{CP}^1$ の等変 genus 0 Gromov-Witten ポテンシャルを再現することを示すこと。
• 制約 $\delta_1 - \bar{\delta}_1 = \nu\partial$ を通じて Toda 方程式に結びつけることにより、予想 $\partial_0\bar{\partial}_0\mathcal{F} = \exp(\nabla^2\mathcal{F})$ が導かれることを確認すること。

提案手法

• Toda 格子を、$\mathbb{Q}_\varepsilon = \mathbb{Q}[[\varepsilon]]$ 上の自由微分代数 $\mathcal{A} = \mathbb{Q}_\varepsilon\{q, a_k, \bar{a}_k \mid k > 0\}$ 上の微分作用素として実現する。
• 制約 $(\delta_1 - \bar{\delta}_1)L = \nu \partial L$ を用いて等変 Toda 格子を定義し、これにより系が微分イデアル $\mathcal{I}_\nu \subset \mathcal{A}[\nu]$ に還元されることを示す。
• 微分代数 $\mathcal{A}[\nu]/\mathcal{I}_\nu$ と $\mathbb{Q}_{\varepsilon,\nu}\{q,v,\bar{v}\}/(\nu\partial q - \nabla(v - \bar{v})) \otimes_{\mathbb{Q}_{\varepsilon,\nu}} \mathbb{Q}_{\varepsilon,\nu}[z_k, \bar{z}_k \mid k > 0]$ 間の同型を構成する。ここで $z_k, \bar{z}_k$ は Lax 演算子方程式によって定義される保存量である。
• genus 0 および genus 1 の位相的再帰関係を用いて genus 0 ポテンシャル $\mathcal{F}_0$ を導出し、分散なし極限における Toda 方程式 $\partial_0^2\mathcal{F}_0 = q + \nu v$ を検証する。
• 穴あきベクトル場 $e = \partial - \sum (s_{n+1}\partial_{s_n} + t_{n+1}\partial_{t_n})$ を用いて $e(v) = 1$ および $e(u) = 0$ を示し、これにより生成関数 $x(z)$ および $y(z)$ が恒等的に 0 であることを証明する。
• 度数 0 のモジュライ空間 $\overline{\mathcal{M}}_{0,2}(\mathbb{CP}^1, 0)$ が空集合であることから、$\lim_{q \to 0} x(z) = \lim_{q \to 0} y(z) = 0$ が成り立ち、$x(z) = y(z) = 0$ を結論づける。これにより、分散なし極限の公式が証明される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 形式的パラメータ $\nu$ を用いた制約により、Toda 格子をどのように等変に還元できるか。
• RQ2 等変 Toda 格子に対応する微分イデアル $\mathcal{I}_\nu$ の代数的構造は何か。
• RQ3 等変 Toda 格子の分散なし極限は、$\mathbb{CP}^1$ の等変 Gromov-Witten ポテンシャルとどのように関係するか。
• RQ4 Toda 方程式および制約 $\delta_1 - \bar{\delta}_1 = \nu\partial$ を用いて、予想 $\partial_0\bar{\partial}_0\mathcal{F} = \exp(\nabla^2\mathcal{F})$ を導けるか。
• RQ5 Lax 演算子表現における保存量 $z_k, \bar{z}_k$ は、等変 Toda 格子において果たす役割は何か。

主な発見

• 等変 Toda 格子は制約 $(\delta_1 - \bar{\delta}_1)L = \nu \partial L$ によって定義され、パrameter $\nu$ を通じて等変性が導入される。
• 微分イデアル $\mathcal{I}_\nu$ は $\mathbb{Q}_{\varepsilon,\nu}\{q,v,\bar{v}\}/(\nu\partial q - \nabla(v - \bar{v})) \otimes \mathbb{Q}_{\varepsilon,\nu}[z_k, \bar{z}_k \mid k > 0]$ と同型であり、系が商代数と保存量の自由代数に分解されることを示す。
• 等変 Toda 格子の分散なし極限は、$\mathbb{CP}^1$ の genus 0 等変 Gromov-Witten ポテンシャルを再現し、$q = \exp(\nabla^2\mathcal{F})$ および $v = \nabla \partial_0 \mathcal{F}$ が成り立つ。
• 生成関数 $x(z) = \sum z^k \partial_k \partial \mathcal{F}_0 - \sum \frac{z^{n-1} p_0(n)}{[n]!}$ および $y(z) = \sum z^k \partial_k \partial_0 \mathcal{F}_0 - \sum \frac{z^{n-1} p_{-1}(n)}{[n]!}$ は恒等的に 0 であり、分散なし極限の公式が証明される。
• 穴あきベクトル場 $e$ は大位相空間上で $\partial_v$ として作用し、$x(z)$ および $y(z)$ の消滅はストリング方程式および度数 0 のモジュライ空間 $\overline{\mathcal{M}}_{0,2}(\mathbb{CP}^1, 0)$ の空集合性から導かれる。
• 結果として、Okounkov と Pandharipande が確立したように、すべての genus において予想 $\partial_0\bar{\partial}_0\mathcal{F} = \exp(\nabla^2\mathcal{F})$ が確認される。