[논문 리뷰] The Error Probability of Maximum-Likelihood Decoding over Two Deletion Channels

Omer Sabary, Eitan Yaakobi외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 01. 15.

DNA and Biological Computing참고 문헌 43인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 두 개의 독립적인 삭제 또는 삽입 채널을 통해 전송된 시퀀스에 대한 최대우도(ML) 디코딩의 오류 확률을 분석한다. 주요 오류 패턴으로는 런 삭제와 번갈아나열 오류를 식별하였으며, $q$-어린 시퀀스의 경우 ML 디코더의 오류 확률이 약 $rac{3q-1}{q-1}p^2$임을 도출하였다. VT 및 시프트된 VT 코드에 대해서는 더 견고한 경계를 제공하였고, 삭제 및 삽입 채널에서의 시뮬레이션을 통해 검증하였다.

ABSTRACT

This paper studies the problem of reconstructing a word given several of its noisy copies. This setup is motivated by several applications, among them is reconstructing strands in DNA-based storage systems. Under this paradigm, a word is transmitted over some fixed number of identical independent channels and the goal of the decoder is to output the transmitted word or some close approximation. The main focus of this paper is the case of two deletion channels and studying the error probability of the maximum-likelihood (ML) decoder under this setup. First, it is discussed how the ML decoder operates. Then, we observe that the dominant error patterns are deletions in the same run or errors resulting from alternating sequences. Based on these observations, it is derived that the error probability of the ML decoder is roughly $\frac{3q-1}{q-1}p^2$, when the transmitted word is any $q$-ary sequence and $p$ is the channel's deletion probability. We also study the cases when the transmitted word belongs to the Varshamov Tenengolts (VT) code or the shifted VT code. Lastly, the insertion channel is studied as well. These theoretical results are verified by corresponding simulations.

연구 동기 및 목표

• 일련의 시퀀스가 두 개의 독립적인 삭제 또는 삽입 채널을 통해 전송될 때 최대우도 디코딩의 오류 확률을 분석하기 위해.
• 이 두 채널 모델 하에서 ML 디코딩의 주요 오류 패턴을 식별하고 특성화하기 위해.
• 특히 $q$-어린 시퀀스, VT 코드, 시프트된 VT 코드에 대해 오류 확률의 해석적 표현을 유도하기 위해.
• 다양한 삭제/삽입 확률을 가진 삭제 및 삽입 채널에서의 시뮬레이션을 통해 이론적 결과를 검증하기 위해.

제안 방법

• 각 채널이 원래 시퀀스의 부분순서열 또는 초순서열을 출력하는 두 개의 독립적인 삭제 또는 삽입 채널을 통한 시퀀스 전송을 모델링한다.
• 두 가지 주요 오류 패턴을 식별한다: 동일한 런 내의 삭제와 번갈아나열 부분순서열에서 발생하는 오류.
• 임bed딩 수론을 사용하여 각 후보 단어가 원래 단어일 가능성의 정도를 계산함으로써 ML 디코딩을 가능하게 한다.
• 조합론적 및 확률론적 분석을 통해 런 오류 및 번갈아나열 오류 확률에 기반한 오류 확률의 점근적 표현을 도출한다.
• 후보 단어를 생성하기 위해 가장 짧은 공통 초순서열(Shortest Common Supersequence, SCS) 계산을 동적 프로그래밍을 통해 수행한다.
• 길이 $n=450$(삭제) 및 $n=500$(삽입)인 시퀀스에서의 시뮬레이션을 통해 이론적 결과를 검증하며, 레벤슈타인 오류율과 실패 확률을 측정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 개의 삭제 채널에서 최대우도 디코딩 성능에 영향을 주는 주요 오류 패턴은 무엇인가요?
• RQ2 임의의 $q$-어린 시퀀스에 대해 삭제 확률 $p$와 알파벳 크기 $q$가 증가함에 따라 ML 디코딩의 오류 확률은 어떻게 변화하는가요?
• RQ3 전송된 단어가 바르샤모프-테넨골츠(VT) 코드 또는 시프트된 VT 코드에 속해 있을 경우 오류 확률은 어떻게 다를까요?
• RQ4 삽입 채널의 경우 오류 확률은 얼마이며, 삭제 채널의 경우와 비교해보면 어떻게 다를까요?
• RQ5 이론적 오류 확률 표현식은 시뮬레이션을 통한 경험적 결과와 어떻게 비교되는가요?

주요 결과

• 두 개의 삭제 채널에서의 ML 디코딩에서 주요 오류 패턴은 동일한 런 내의 삭제와 번갈아나열 부분순서열에서 발생하는 오류이다.
• 임의의 $q$-어린 시퀀스에 대해 ML 디코더의 오류 확률은 약 $\frac{3q-1}{q-1}p^2$이며, 이는 런 오류에서 기인하는 $\frac{q+1}{q-1}p^2$와 번갈아나열 오류에서 기인하는 $2p^2$의 합으로 구성된다.
• VT 코드의 경우 오류 확률은 약 $ olimits \left(1 - \mathsf{P_{run}}(q,p)\right)^n \cdot \left(1 - \mathsf{P_{alt}}(q,p)\right)^n$이며, 이는 단일 런 또는 번갈아나열 오류를 수정할 수 있는 능력을 반영한다.
• 시프트된 VT 코드의 경우 실패 확률은 번갈아나열 오류에 의해 지배되며, $\mathsf{P_{fail}}(SVT_n, q, p) \approx \left(1 - \mathsf{P_{run}}(q,p)\right)^n \cdot \left(1 - \mathsf{P_{alt}}(q,p)\right)^n + n\mathsf{P_{alt}}(q,p)(1 - \mathsf{P_{alt}}(q,p))^{n-1}$이다.
• 삽입 채널의 경우 오류 확률은 약 $\frac{3q-1}{q(q-1)}p^2 + O(p^3)$이며, 런 오류 기여도는 $\frac{q+1}{q(q-1)}p^2$, 번갈아나열 오류 기여도는 $\frac{2}{q}p^2$이다.
• 길이 $n=450$(삭제) 및 $n=500$(삽입)인 시퀀스에서의 시뮬레이션을 통해 모든 코드 유형에서 이론적 오류율 표현식과 실패 확률이 검증되었다.