[論文レビュー] The Euclidean numbers

Vieri Benci, Marco Forti|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2017

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、最初の不動点基数 Ω より小さい順序数によってインデックス付けられた超限和を用いて構成された飽和超実数体である、Euclidean 数と呼ばれる体 𝔼 を導入する。transfinite 和の公理的定式化と順序数算術の埋め込みにより、𝔼 はすべてのユークリッドの公理的共通概念を満たし、無限集合の数的濃度理論を提供する。また、Keisler の飽和超実数体と同型であり、『全体は部分よりも大きい』という直感を保ちつつ非アルキメデス的モデルを提供する。

ABSTRACT

We introduce axiomatically a Nonarchimedean field E, called the field of the Euclidean numbers, where a transfinite sum is defined that is indicized by ordinal numbers less than the first inaccessible Ω. Thanks to this sum, E becomes a saturated hyperreal field isomorphic to the so called Kiesler field of cardinality Ω, and suitable topologies can be put on E and on Ω \cup {Ω} so as to obtain the transfinite sums as limits of a suitable class of their finite subsums. Moreover there is a natural isomorphic embedding into E of the semiring Ω equipped by the natural sum and product. Finally a notion of numerosity satisfying all Euclidean common notions is given, whose values are nonnegative nonstandard integers of E. Then E can be charachterized as the hyperreal field generated by the real numbers and together with the semiring of numerosities (and this explains the name Euclidean numbers).

研究の動機と目的

• カントールの基数算術では破壊されるが、ユークリッドの第5共通概念『全体は部分よりも大きい』を保つ非アルキメデス的体を構築すること。
• 最初の不動点基数 Ω まで順序数でインデックス付けされた実数の超限和が、有限部分和の極限としてwell-definedかつ極限に基づいて定義される体 𝔼 を構成すること。
• 各集合が順序数の集合と等濃度であるような、Euclidean 数の集合としての数的濃度理論を確立し、数的濃度が非標準整数の正の部分半群をなすようにすること。
• 𝔼 が Keisler のサイズ Ω の飽和超実数体と同型であり、したがってユークリッド連続体の自然なモデルを提供することを示すこと。
• 特に物理的・幾何的文脈において、Dedekind完備実数直線よりも、連続性や大きさの直感的把握をよりよくモデル化する点で、𝔼 が優れていることを主張すること。

提案手法

• 最初の不動点基数 Ω より小さい順序数上で超限和を公理化し、実数列 (a_k) に対して ∑_{k∈Ω} a_k を5つの自然な公理によって定義する。
• Ω インデックスの列に対して、超限和がその有限部分和の極限として定義されるような極限概念を定義する。
• 各順序数 α を ∑_{k<α} 1 に同一視することで、可及的順序数の半群を 𝔼 に埋め込み、自然な順序数演算 ⊕ と ⊙ を保存する。
• Ω 上の適切な超フィルターに関する ℝ の極限超冪として 𝔼 のモデルを構成し、飽和性と実閉性を保証する。
• 集合への数的濃度関数を定義し、その値を 𝔼 の非負非標準整数にとることで、すべての集合が順序数の集合と等濃度であるようにする。
• 𝔼 がサイズ Ω の唯一の飽和実閉体であり、Keisler の体と同型で、ℝ と数的濃度の半群によって生成されることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 順序数の算術構造を保ちつつ、超限和が有限部分和の極限としてwell-definedかつ極限に基づいて定義される非アルキメデス的体を構築できるか？
• RQ2 すべての無限集合が順序数の集合と等濃度であり、その数的濃度が非標準整数の部分半群をなし、かつ全超整数環を生成するような数的濃度理論が存在するか？
• RQ3 『全体は部分よりも大きい』という共通概念を含む5つのユークリッドの共通概念すべてを満たす体が構成可能か？（標準的基数算術とは対照的である。）
• RQ4 Euclidean 数の体は Keisler のサイズ Ω の飽和超実数体と同型であり得るか？ また、超冪または極限超冪の方法によって構成可能か？
• RQ5 最初の不動点基数 Ω をインデックス集合として用いることで、Dedekind完備実数直線よりも豊かで直感的なユークリッド連続体のモデルが得られるか？

主な発見

• 体 𝔼 はサイズ Ω の飽和実閉体であり、Keisler の超実数体と同型で、その濃度に関して一意的である。
• すべてのEuclidean数は、Ω より小さい順序数でインデックス付けされた実数の超限和として得られ、新しい極限概念のもとで、有限部分和の極限として定義される。
• 可及的順序数は、1の和としての ∑_{k<α} 1 による埋め込みにより、自然に 𝔼 に埋め込まれ、自然な順序数演算 ⊕ と ⊙ を保存する。これにより、𝔼 は順序数の半群の自然な拡張である。
• 集合への数的濃度関数の値は、𝔼 の非負非標準整数にとられ、すべての集合が順序数の集合と等濃度であるため、すべてのユークリッドの共通概念を満たす。
• 体 𝔼 は ℝ と数的濃度の半群によって生成され、したがって『Euclidean 数』という名前が、ユークリッド連続体の基礎的モデルとして正当化される。
• 𝔼 において ∑_{k∈[0,ω)} 1/2^k = 2 − 1/2^{ω−1} が成り立ち、無限和の長さがDedekindの極限にわずかに及ばないことが示され、物理的に無限小量が区別できないことを反映している。