[論文レビュー] The Eulerian numbers on restricted centrosymmetric permutations

Marilena Barnabei, Flavio Bonetti+1 more|ArXiv.org|Oct 13, 2009

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、123を避ける中心対称置換の下降の分布を、偶数長の置換に限定して調査する。$S_{2n}$における123を避ける中心対称置換と長さ$2n$のDyck接頭辞との間に、新規の双対写像を導入し、$|C_{2n}(123)| = \binom{2n}{n}$の双対的証明を可能にするとともに、下降統計の明示的2変数母関数の導出を可能にする。主な貢献は、Dyck接頭辞の最後のリターンに基づく分解を用いた、下降分布の完全な特徴付けである。

ABSTRACT

We study the descent distribution over the set of centrosymmetric permutations that avoid the pattern of length 3. Our main tool in the most puzzling case, namely, $τ=123$ and $n$ even, is a bijection that associates a Dyck prefix of length $2n$ to every centrosymmetric permutation in $S_{2n}$ that avoids 123.

研究の動機と目的

• 中心対称置換のうち、$S_3$の与えられたパターンを避けるものについて、特に困難なケース$\tau = 123$に注目して、下降分布を分析すること。
• $C_{2n}(123)$と長さ$2n$のDyck接頭辞との間の双対写像を確立し、$|C_{2n}(123)| = \binom{2n}{n}$の双対的証明を提供すること。
• これらの置換における下降統計の明示的2変数母関数$T(x,y) = \sum_{n \geq 0} \sum_{\sigma \in C_{2n}(123)} x^n y^{\mathrm{des}(\sigma)}$を導出すること。
• Dyck接頭辞の最後のリターン分解を用いて母関数を分解し、Dyckパスと上昇した真の接頭辞を区別すること。

提案手法

• 双対写像$\Phi$は、$C_{2n}(123)$に属する各中心対称123避ける置換を、長さ$2n$のDyck接頭辞に写像し、構造的性質および下降の性質を保存する。
• Dyck接頭辞はその最後のリターンによって分解され、3つのタイプに分類される：Dyckパス、上昇した真の接頭辞、Dyckパスと上昇した真の接頭辞の直積。
• 下降統計は、対応するDyck接頭辞のタイプに従って置換を分解し、成分パスの下降統計から下降数を導出することで分析される。
• Dyckパス、上昇した接頭辞、一般のDyck接頭辞に対応する母関数$T(x,y)$、$K(x,y)$、$S(x,y)$の間の再帰的関係が確立される。
• 母関数$T(x,y)$は、$K(x,y)$を含む関数方程式系を通じて導出され、平方根を含む閉形式の表現が得られる。
• 双対写像を用いて、置換の下降集合が鏡像対称であることが示され、中心対称構造と整合的である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 中心対称置換の集合$C_{2n}(123)$における下降統計の分布は何か？
• RQ2 $|C_{2n}(123)|$の双対的説明は可能か？その背後にある構造は何か？
• RQ3 $C_{2n}(123)$における下降分布は2変数母関数で表現可能か？その閉形式表現は何か？
• RQ4 Dyck接頭辞の最後のリターン分解は、対応する中心対称置換の下降構造とどのように関係するか？
• RQ5 本設定下で、Dyckパス、上昇した接頭辞、一般のDyck接頭辞の母関数の間の関数的関係は何か？

主な発見

• 123を避ける中心対称置換の集合$C_{2n}(123)$のサイズは$\binom{2n}{n}$であり、長さ$2n$のDyck接頭辞への写像を用いた双対的証明により示される。
• $C_{2n}(123)$における下降分布は、Dyck接頭辞の最後のリターン分解に基づく関数方程式を用いて明示的に導出された2変数母関数$T(x,y)$に符号化されている。
• 母関数$T(x,y)$は、Dyckパスの母関数$K(x,y)$を含む2次方程式を満たし、$T(x,y) = \frac{-xy^3K^2 + (1 - 2xy^2 + xy + xy^3)K + xy^2 - 2xy + x}{1 - xy + xy^3 - xy^2K - xy^3K}$として表現される。ここで$K(x,y)$は閉形式で与えられる。
• Dyckパスに対応する置換の下降数は、最後のリターン分解を用いて導出され、$k_{n,d}$（$d$個の下降をもつようなそのような置換の数）を含む再帰的関係が得られる。
• 一般のDyck接頭辞に関しては、$g_{i,j}$と$k_{n-i,d-1-j}$の畳み込みを用いて下降分布が表現され、Dyckパスと上昇した接頭辞への分解構造が反映されている。
• $t_{n,d}$（$C_{2n}(123)$に属する$d$個の下降をもつ置換の数）の最初のいくつかの値が計算され、母関数と整合的な明確なパターンが示された。