[論文レビュー] The existence and blow-up criterion of liquid crystals system in critical Besov space

Yihang Hao, Xiangao Liu|arXiv (Cornell University)|May 7, 2013

Navier-Stokes equation solutions参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、臨界Besov空間における非圧縮性液晶系の強い解の存在および爆発基準を、Littlewood-Paley理論とエネルギー推定を用いて確立する。速度場および配向場に対してそれぞれ $ abla B_{2,1}^{rac{ u}{2}-1}$ および $ abla B_{2,1}^{rac{ u}{2}}$ におけるエネルギー推定を適用し、ナビエ＝ストークス方程式のSerrin条件に類似した爆発基準を証明する。初期データが小さい、または特定の可積分性条件を満たす場合、解が大域的に存在することを保証する。

ABSTRACT

We consider the existence of strong solution to liquid crystals system in critical Besov space,then give a criterion which is similar to Serrin's criterion on regularity of weak solution to Navier-Stokes equations.

研究の動機と目的

• 臨界Besov空間における非圧縮性液晶系の強い解の局所的および大域的存在を確立すること。
• ナビエ＝ストークス方程式のSerrinの基準に類似した、強い解の爆発基準を導出すること。
• $\cdot{B}_{2,1}^{\frac{\nu}{2}-1}$ および $\cdot{B}_{2,1}^{\frac{\nu}{2}}$ がそれぞれ速度場および配向場の自然な臨界空間であることを特定すること。
• スケーリング不変性を持つ関数空間における反復近似および固定点議論を用いて、解の一意性と正則性を保証すること。

提案手法

• homogeneous Besov空間 $\cdot{B}_{2,1}^{s}$ における周波数局所化ノルムを分析するため、Littlewood-Paley分解を用いる。
• スケーリング不変性を適用し、系の自然なスケーリングに対して不変であるノルムを持つ臨界空間を同定する。
• 時間区間 $[0,T]$ における近似解 $(u_m, \tau_m)$ の列を用いた反復近似を実施し、$\cdot{L}^{\infty}(0,T; \cdot{B}_{2,1}^{\frac{\nu}{2}-1}) \times \cdot{L}^{\infty}(0,T; \cdot{B}_{2,1}^{\frac{\nu}{2}})$ に属する。
• 初期データの小さな性質、または時間区間における小さなノルムに依存して、小時間区間における収束を収縮写像議論により確立する。
• 非線形項、特に $|\nabla d|^2 d$ および $u \cdot \nabla d$ を制御するため、エネルギー推定および補間不等式を用いる。
• 時間区間 $[0, \delta]$ における固定点議論を適用し、爆発基準に依存して解を反復的に拡張することで大域的解を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 臨界Besov空間における液晶系の強い解は存在可能であり、初期データのどのような条件下で成立するか？
• RQ2 ナビエ＝ストークス方程式のSerrinの基準に類似した、強い解の鋭い爆発基準は何か？
• RQ3 なぜBesov空間 $\cdot{B}_{2,1}^{\frac{\nu}{2}-1}$ および $\cdot{B}_{2,1}^{\frac{\nu}{2}}$ がこの系の自然な臨界空間であるのか？
• RQ4 反復近似およびノルム制御を用いて、これらの臨界空間における解の一意性と正則性をどのように証明できるか？

主な発見

• 初期エネルギー $E_0$ が有限であれば、初期データが臨界Besov空間に属する限り、解は空間 $C([0,T]; \cdot{B}_{2,1}^{\frac{\nu}{2}-1}) \times C([0,T]; \cdot{B}_{2,1}^{\frac{\nu}{2}})$ において一意に存在する。
• 初期データが小さい場合、解は時間に大域的に存在する。すなわち、$[0,\infty) \times \mathbb{R}^{\nu}$ 上で定義される。
• 爆発基準が確立された：解が時刻 $T'$ まで存在するならば、$u \in \widetilde{L}^{\rho_1}_{T'}(\dot{B}_{\infty,\infty}^{-1+\frac{2}{\rho_1}})$、$d - \bar{d}_0 \in \widetilde{L}^{\rho_2}_{T'}(\dot{B}_{\infty,\infty}^{\frac{2}{\rho_2}})$、および $d - \bar{d}_0 \in \widetilde{L}^{\rho_3}_{T'}(\dot{B}_{2,\infty}^{\frac{\nu}{2}+\frac{2}{\rho_3}})$ を満たすような $\rho_1, \rho_2, \rho_3 > 2$ に対して、解は正則のままである。
• 上記の可積分性条件が成り立つ限り、解は時刻 $T'$ まで臨界Besovノルムで有界のままであり、爆発時刻は $T'$ よりも小さくはならない。
• 証明は小時間区間における収縮議論と反復的拡張に依存し、継続性を保証する重要な推定式 $\|u\|_{\widetilde{L}^{\infty}(\dot{B}_{2,1}^{\frac{\nu}{2}-1})} + \|\tau\|_{\widetilde{L}^{\infty}(\dot{B}_{2,1}^{\frac{\nu}{2}})} \leq C(\|u(T_2)\|_{\dot{B}_{2,1}^{\frac{\nu}{2}-1}}} + \|\tau(T_2)\|_{\dot{B}_{2,1}^{\frac{\nu}{2}}})$ が成立する。
• 臨界空間の選定はスケーリング不変性および埋め込みにより正当化される：$\dot{B}_{2,1}^{\frac{\nu}{2}} \hookrightarrow L^\infty$ であり、これは $|d| = 1$ を保存する。