[論文レビュー] The finite-step realizability of the joint spectral radius of a pair of $d imes d$ matrices one of which being rank-one

Xiongping Dai|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2011

graph theory and CDMA systems被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ランク1の行列を含む任意の実 $d \times d$ 行列のペアの連立スペクトル半径が、有限時間内にその上限に達することを証明し、スペクトル有限性を確立する。証明はランク1の摂動の構造的解析と行列積におけるスペクトル挙動に依拠しており、多面体ノルムや有理数性の仮定を必要としない。このため、このような行列ペアに対して指数的安定性がアルゴリズム的に決定可能であることが示される。

ABSTRACT

We study the finite-step realizability of the joint/generalized spectral radius of a pair of real $d imes d$ matrices, one of which has rank 1. Then we prove that there always exists a finite-length word for which there holds the spectral finiteness property for the set of matrices under consideration. This implies that stability is algorithmically decidable in our case.

研究の動機と目的

• ランク1の行列を含む $d \times d$ 実行列ペアに対して、スペクトル有限性を確立すること。
• 連立スペクトル半径が、行列ペアからの有限個の積のスペクトル半径として実現可能かどうかを特定すること。
• 多面体ノルムや有理数行列の仮定に依存しない構成的証明を提供すること。
• この行列ペアクラスに対して、関連するスイッチング線形系の指数的安定性がアルゴリズム的に決定可能であることを示すこと。

提案手法

• 有限長の語 $(i_1, \dots, i_\ell) \in \{1,2\}^\ell$ に対する積 $\mathrm{S}_{i_1} \cdots \mathrm{S}_{i_\ell}$ のスペクトル半径を分析する。
• 一方の行列がランク1であることを利用して、行列積の構造を単純化し、そのスペクトル半径を解析する。
• Berger-Wangの公式を適用し、一般化スペクトル半径 $\rho(\boldsymbol{S})$ を連立スペクトル半径 $\hat{\rho}(\boldsymbol{S})$ に等置する。
• 有限長の積における連続性と最大化の議論を用いて、上限が有限の $\ell$ で達成されることを示す。
• 最適な積長が有界であり、計算可能であることを示し、無限の探索を回避する。
• 多面体ノルムを避け、ランク1の摂動の直接的スペクトル解析に依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランク1の行列を含む $d \times d$ 行列ペアの一般化スペクトル半径が、行列の有限個の積のスペクトル半径として実現可能かどうか？
• RQ2 このような行列ペアに対して、連立スペクトル半径が有限ステップで実現可能であり、安定性のアルゴリズム的決定可能性が保証されるか？
• RQ3 行列が対称的でも可換でもなく、有理数的でもない場合でも、スペクトル有限性は成立するか？
• RQ4 ランク1の行列の構造が、行列積におけるスペクトル半径の成長にどのように制限を加えるか？
• RQ5 多面体ノルムや有理数性の仮定に依存せずに、有限ステップ実現性を証明できるか？

主な発見

• ランク1の行列を含む任意の $d \times d$ 実行列ペアに対して、スペクトル有限性が成立する。
• ある有限長の語 $(i_1^*, \dots, i_\ell^*)$ が存在し、$\sqrt[\ell]{\rho(\mathrm{S}_{i_1^*} \cdots \mathrm{S}_{i_\ell^*})} = \sup_{n \geq 1} \left\{ \max_{(i_1,\dots,i_n) \in \{1,2\}^n} \sqrt[n]{\rho(\mathrm{S}_{i_1} \cdots \mathrm{S}_{i_n})} \right\}$ を満たす。これにより、有限ステップ実現性が証明される。
• 行列の対称性、可換性、有理数性の仮定は不要である。
• 従来の手法とは異なり、多面体ノルムを用いない。
• このような行列ペアに対して、連立スペクトル半径はアルゴリズム的に決定可能である。
• 最適な積長はパrameterの変化に応じて増加する可能性がある（例：$\ell_\varepsilon \to \infty$ が $\varepsilon \to 0$ のとき）、が、任意の固定された $\varepsilon > 0$ に対しては有限のまま保たれる。