[論文レビュー] The first Hochschild (co)homology when adding arrows to a bound quiver algebra

Claude Cibils, Marcelo Lanzilotta+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 31被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、束縛されたクーヴィー代数に新たな矢印を追加する際の第一ホッホシュילדコホモロジーの次元の変化に関する公式を確立している。相対的および絶対的コホモロジーを結ぶ短完全系列を用いて、その変化を定式化している。また、相対的サイクルが生成されない限り、第一ホッホシュıldホモロジーが不変のまま保たれることを証明しており、変形理論およびクーヴィー代数の表現論における明確な代数的不変量を提供する。

ABSTRACT

We provide a formula for the change of the dimension of the first Hoch\\-schild cohomology vector space of bound quiver algebras when adding new arrows. For this purpose we show that there exists a short exact sequence which relates the first cohomology vector spaces of the algebras to the first relative cohomology. Moreover, we show that the first Hochschild homologies are isomorphic when adding new arrows.

研究の動機と目的

• 束縛されたクーヴィー代数に新たな矢印を追加した際、第一ホッホシュıldコホモロジー空間の次元がどのように変化するかを特定すること。
• 相対的コホモロジーを介して、元の代数と拡張された代数の第一ホッホシュıldコホモロジーを結ぶ短完全系列を確立すること。
• 新たな矢印を追加しても相対的サイクルが生成されない限り、第一ホッホシュıldホモロジーが不変のまま保たれることを証明すること。
• 有限次元体上の代数に適用可能な、矢印追加時のHH¹の次元シフトを表す明確な公式を提供すること。

提案手法

• 拡張代数BFと元の代数Bの第一ホッホシュıldコホモロジーを相対的コホモロジーH¹(BF|B, ·)を介して結ぶ短完全系列を構築すること。
• BFが新しい矢印に対応するB-両側加群Nを基にしたテンソル代数であることを利用し、長さ1の相対的射影的分解が可能であることを用いる。
• ホッホシュıldとカイユgunのジャコビ＝ザリスキ長完全系列を用いて、次数1におけるこの短完全系列の妥当性を検証すること。
• 定理4.8の分解を用いて次元を計算し、T = TB(N) = BFのテンソル代数の射影的分解を得ること。
• 標準的同型と両側加群ホモロジー計算を用いて、H¹(BF|B, BF)およびH¹(B, BF)の次元公式を導出すること。
• 短完全系列を双対化してホッホシュıldホモロジーを分析し、相対的サイクルが存在しない場合にH¹(BF|B, Y) = 0であることを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 相対的サイクルが生成されない条件下で、束縛されたクーヴィー代数に新たな矢印を追加した際、第一ホッホシュıldコホモロジー空間の次元はどのように変化するか？
• RQ2 新たな矢印の追加後に、元の代数と拡張された代数の第一ホッホシュıldコホモロジーの間の明確な代数的関係は何か？
• RQ3 新たな矢印の追加によって第一ホッホシュıldホモロジーが不変のまま保たれるか。その条件は何か？
• RQ4 HH¹の変化は、相対的パスと両側加群準同型を含む公式で表現可能か？

主な発見

• 次元のシフト∆ = dimkHH¹(BF) − dimkHH¹(B) は、長さ≥1の相対的パスの数と、元のクーヴィーにおけるパス空間の次元を含む公式で与えられる。
• 新たな矢印によって相対的サイクルが生成されない限り、拡張代数BFの第一ホッホシュıldコホモロジーは、元の代数Bの第一ホッホシュıldコホモロジーと同型である。
• 相対的サイクルが存在しない限り、第一ホッホシュıldホモロジー空間は矢印の追加によって不変のまま保たれる：BFが有限次元でかつ相対的サイクルが存在しないとき、HH¹(BF) ≅ HH¹(B) が成り立つ。
• 相対的コホモロジーH¹(BF|B, BF)がゼロであることは、新たな矢印に相対的サイクルが存在しないことと同値であり、これはホモロジーの不変性のための重要な条件である。
• dimkHH¹(BF)の公式は、HomB−B(N, BF)からBFのB不変部分空間への写像の余核から導出され、相対的パス類ごとの明確な次元数え上げを伴う。
• 本論文は、サイクルのないクーヴィーQに対してdimkHH¹(kQ)の新たな計算を、主公式の副産物として提供している。