[論文レビュー] The Fourier-Like and Hartley-Like Wavelet Analysis Based on Hilbert Transforms

L. R. Soares, H. M. de Oliveira+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2015

Image and Signal Denoising Methods参考文献 4被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、ヒルベルト変換に基づく連続時間ウェーブレット解析フレームワークを提案する。フーリエ変換およびハートリー変換カーネルから導出された偶関数対称および奇関数対称ウェーブレットをペアで組み合わせることで、フーリエ様およびハートリー様ウェーブレットを提案する。この手法は、ヒルベルト変換によって生成される解析的ウェーブレットを活用することで、特に非対称信号に対して優れた時間周波数局在化を実現し、信号特徴の検出を向上させる。

ABSTRACT

In continuous-time wavelet analysis, most wavelet present some kind of symmetry. Based on the Fourier and Hartley transform kernels, a new wavelet multiresolution analysis is proposed. This approach is based on a pair of orthogonal wavelet functions and is named as the Fourier-Like and Hartley-Like wavelet analysis. A Hilbert transform analysis on the wavelet theory is also included.

研究の動機と目的

• フーリエ変換とハートリー変換の双対性にインspiredされた、新たなマルチスケールウェーブレット解析フレームワークの開発。
• 対称性が事前に定義されていない信号を扱う際の、標準ウェーブレット解析の限界を解消すること。
• ヒルベルト変換ペアの使用を通じて、時間周波数分解能が向上した解析的ウェーブレットを生成することの探求。
• 非対称信号の特徴を捉える際、非対称ウェーブレットが対称ウェーブレットよりも優れていることを示すこと。
• 連続時間信号解析におけるフーリエ様およびハートリー様ウェーブレットの理論的かつ実用的基盤を提供すること。

提案手法

• フーリエ変換およびハートリー変換カーネルから導出された、偶関数対称（フーリエ様）および奇関数対称（ハートリー様）の直交ウェーブレットペアを用いたウェーブレットマルチスケール解析を提案する。
• 実ウェーブレットにヒルベルト変換を適用し、直交的かつ反対称な対応関数を生成することで、ヒルベルト変換ペアを形成する。
• ヒルベルト変換の性質として、−π/2の位相シフトを導入し、エネルギーおよび許容性を保持することで、結果関数が有効なウェーブレットのままであることを保証する。
• ヒルベルト変換のフーリエ変換を用いて周波数領域応答を導出する：$\mathcal{F}\{\mathcal{H}[\psi]\} = -j \cdot \text{sgn}(\omega) \cdot \Psi(\omega)$。
• 母数ウェーブレットとして元のウェーブレットとそのヒルベルト変換を用い、時間-スケール空間における信号解析を実施する。
• 解析的ウェーブレット係数の絶対値と位相を用いて、特に周波数遷移の検出に適した時間周波数コンテンツを抽出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒルベルト変換に基づくウェーブレットペアは、連続時間ウェーブレット解析において非対称信号の表現を改善できるか？
• RQ2 フーリエ様およびハートリー様ウェーブレットの使用は、標準的な対称ウェーブレットと比較して、遷移的または非対称な信号特徴を検出する際にどのように異なるか？
• RQ3 ヒルベルト変換によって生成されたウェーブレットの理論的性質（エネルギー、許容性など）は何か？
• RQ4 母数ウェーブレットのヒルベルト変換から導出される解析的ウェーブレットは、信号分解における周波数および時間局在化を向上させられるか？
• RQ5 どのような状況下でハートリー様ウェーブレットが従来のウェーブレットを上回る性能を発揮するか？

主な発見

• 実で許容可能なウェーブレットのヒルベルト変換は、同じエネルギーおよび許容係数を有する有効なウェーブレットを生成し、マルチスケール解析に適したままであることを保証する。
• フーリエ変換およびハートリー変換カーネルからヒルベルト変換を経て導出されたフーリエ様およびハートリー様ウェーブレットは、直交ペアを形成し、フーリエ解析におけるコサインとサインに類似した二重表現を可能にする。
• 対称性が不明または非対称な信号に対しては、ハートリー様ウェーブレットが対称ウェーブレットよりも優れた特徴検出を達成する。これは、合成信号の1次変換における結果で実証された。
• ヒルベルト変換によって導出された解析的メキシカンハットウェーブレットは、周波数分解信号において高周波成分と低周波成分の両方を効果的に特定し、高周波成分が低スケールに、低周波成分が高スケールに局在化されることを示した。
• 第5および第25スケールにおけるウェーブレット係数の正規化された絶対値は、周波数遷移が発生する時間間隔を明確に示しており、本手法の時間周波数局在化における有効性を裏付けている。
• 解析的ウェーブレット係数の絶対値の使用により、周波数コンテンツの急激な変化の検出が特に明確に可能になる。