[論文レビュー] The fractional Poisson measure in infinite dimensions

Maria João Oliveira, Habib Ouerdiane+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2010

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、Mittag-Leffler関数 $ E_{\alpha} $ を用いて古典的ポアソン測度の特徴関数を一般化することで、無限次元の分数マーティンゲール測度を導入する。Bochner-Minlos定理を用いて、この関数が $ \mathcal{D}'(M) $ 上の有効な確率測度を定義することを証明する。得られる測度は、標準的な無限次元ポアソン測度と同じ補集合を持つが、$ n $-粒子配置空間における重みがよりゆっくり減衰するため、確率過程や量子場理論への応用を可能にする、分数マーティンゲール無限次元解析の新しい枠組みを提供する。

ABSTRACT

The Mittag-Leffler function $E_α$ being a natural generalization of the exponential function, an infinite-dimensional version of the fractional Poisson measure would have a characteristic functional \[ C_α(ϕ) :=E_α(\int (e^{iϕ(x)}-1)dμ(x)) \] which we prove to fulfill all requirements of the Bochner-Minlos theorem. The identity of the support of this new measure with the support of the infinite-dimensional Poisson measure ($α=1$) allows the development of a fractional infinite-dimensional analysis modeled on Poisson analysis through the combinatorial harmonic analysis on configuration spaces. This setting provides, in particular, explicit formulas for annihilation, creation, and second quantization operators. In spite of the identity of the supports, the fractional Poisson measure displays some noticeable differences in relation to the Poisson measure, which may be physically quite significant.

研究の動機と目的

• $ 0 < \alpha \leq 1 $ に対して、Mittag-Leffler関数 $ E_{\alpha} $ を用いて無限次元ポアソン測度を分数版に一般化すること。
• 特徴関数 $ C_{\alpha}(\varphi) = E_{\alpha}\left(\int (e^{i\varphi(x)} - 1)\,d\mu(x)\right) $ を用いて、Bochner-Minlos定理により $ \mathcal{D}'(M) $ 上に一貫した確率測度の存在を確立すること。
• 配置空間における組み合わせ的調和解析に基づいて、ポアソン解析に類似した分数マーティンゲール無限次元解析の枠組みを構築すること。
• 新しい測度の物理的意味、特にべき則的減衰や非マルコフ的ダイナミクスを示す系への応用を探索すること。

提案手法

• 関数 $ \varphi \in \mathcal{D}(M) $ に対して、特徴関数 $ C_{\alpha}(\varphi) = E_{\alpha}\left(\int (e^{i\varphi(x)} - 1)\,d\mu(x)\right) $ を定義し、古典的ポアソンケースにおける指数関数をMittag-Leffler関数に一般化する。
• $ E_{\alpha} $ の性質を用いて、関数の連続性と正規化（$ C_{\alpha}(0) = 1 $）を証明する。
• 積分表現 $ E_{\alpha}(-z) = \int_0^\infty e^{-z\tau} d\nu_{\alpha}(\tau) $ を用いて、$ 0 < \alpha < 1 $ の場合における $ E_{\alpha} $ の完全単調性を示し、正定値性を確立する。
• Bochner-Minlos定理を適用し、$ C_{\alpha} $ が $ \mathcal{D}'(M) $ 上の唯一の確率測度のフーリエ変換であることを確認する。
• 演算子 $ I_{\alpha} $ を用いてFock空間の同型写像を構成し、分数指数関数 $ e_{\alpha}(f) $ をポアソン指数関数 $ e_{\lambda}(f) $ に写像することで、調和解析の道具の移行を可能にする。
• 生成子 $ A $ が配置空間関数に作用する方法と同型写像を用いて、分数的設定における消滅、生成、および第二量子化作用素の明示的公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限次元ポアソン測度は、Mittag-Leffler関数 $ E_{\alpha} $ を用いて分数版に一般化可能か？
• RQ2 特徴関数 $ C_{\alpha}(\varphi) = E_{\alpha}\left(\int (e^{i\varphi(x)} - 1)\,d\mu(x)\right) $ は、$ 0 < \alpha \leq 1 $ に対してBochner-Minlos定理の条件を満たすか？
• RQ3 分数マーティンゲール測度と古典的ポアソン測度の補集合の関係は何か？
• RQ4 分数的および古典的ケースにおける $ n $-粒子配置空間における重みの違いは何か？物理的意味は何か？
• RQ5 配置空間における組み合わせ的調和解析に基づいて、ポアソン解析に類似した分数マーティンゲール無限次元解析を構築可能か？

主な発見

• Bochner-Minlos定理により、関数 $ C_{\alpha}(\varphi) = E_{\alpha}\left(\int (e^{i\varphi(x)} - 1)\,d\mu(x)\right) $ が $ \mathcal{D}'(M) $ 上の確率測度 $ \pi_{\mu}^{\alpha} $ の有効な特徴関数であることが確認された。
• 分数マーティンゲール測度 $ \pi_{\mu}^{\alpha} $ の補集合は、古典的無限次元ポアソン測度と同一であり、$ \sum \delta_x $ の形の配置にのみ支えられている。
• 分数測度における $ n $-粒子空間への重みは $ E_{\alpha}^{(n)}(-\mu(\Lambda)) $ であり、古典的ケースの指数関数的減衰 $ e^{-\mu(\Lambda)} $ よりもゆっくり減衰するため、べき則的挙動を示している。
• 同型写像 $ I_{\alpha} $ は、分数指数関数 $ e_{\alpha}(f) $ をポアソン指数関数 $ e_{\lambda}(f) $ に写像し、調和解析の道具の移行とFock空間表現の構築を可能にする。
• 消滅、生成、および第二量子化作用素の明示的公式が分数的設定で導出された。第二量子化作用素 $ H_A^\alpha $ は、$ \sqrt{\frac{E_{\alpha}^{(|\eta|-1)}(0)}{E_{\alpha}^{(|\eta|)}(0)}} \sum_{x\in\eta} (Af)(x) e_{\alpha}(f, \eta\setminus\{x\}) $ として作用する。
• $ 0 < \alpha < 1 $ の場合における $ E_{\alpha} $ の完全単調性は、複素変数への拡張を伴う積分表現 $ E_{\alpha}(-z) = \int_0^\infty e^{-z\tau} d\nu_{\alpha}(\tau) $ を用いて示され、正定値性と測度の存在の証明に不可欠である。