[論文レビュー] The full four-loop cusp anomalous dimension in $\mathcal{N}=4$ super Yang-Mills and QCD

Johannes M. Henn, G.P. Korchemsky+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2019

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、$χ=4$ 超ヤン・ミルズ理論およびQCDにおける四ループcusp異常次元の完全な解析的計算を提示し、最後の未解決の非平面的寄与を解消した。ライト状のウィルソンループとラグランジアン挿入の相関関数を用いて、有限な比を計算し、挿入位置について積分して四ループの紫外発散を抽出し、超対称的分解を適用することで、四次カルタン・カルタン項を含むQCDの完全な結果を導出した。

ABSTRACT

We present the complete formula for the cusp anomalous dimension at four loops in QCD and in maximally supersymmetric Yang-Mills. In the latter theory it is given by \begin{equation} Γ^{ m}_{ m cusp}\Big|_{α_s^4} = -\left( \frac{α_s N}π ight)^4 \left[ \frac{73 π^6}{20160} + \frac{ ζ_{3}^2}{8} + \frac{1}{N^2} \left( \frac{31π^6}{5040} + \frac{9 ζ_3^2}{4} ight) ight] \,. onumber \end{equation} Our approach is based on computing the correlation function of a rectangular light-like Wilson loop with a Lagrangian insertion, normalized by the expectation value of the Wilson loop. In maximally supersymmetric Yang-Mills theory, this ratio is a finite function of a cross-ratio and the coupling constant. We compute it to three loops, including the full colour dependence. Integrating over the position of the Lagrangian insertion gives the four-loop Wilson loop. We extract its leading divergence, which determines the four-loop cusp anomalous dimension. Finally, we employ a supersymmetric decomposition to derive the last missing ingredient in the corresponding QCD result.

研究の動機と目的

• 非平面的補正を含む$χ=4$ 超ヤン・ミルズ理論における四ループcusp異常次元の計算。
• QCDにおける対応する結果の導出、散乱振幅の四ループ特異構造の完成。
• 四ループでカスプ異常次元に寄与する四次カルタン色因子を特定・計算すること。この項は四ループでカルタンスケーリングを破る。
• QCDおよび$χ=4$ SYMにおける高次の再結合および精度計算のための正確な解析的入力を提供すること。

提案手法

• ライト状のウィルソンループとラグランジアン挿入の相関関数を、ウィルソンループ期待値で割った比を計算し、この比はクロス比と結合定数に依存する有限量である。
• ラグランジアン挿入の構造と色テンソルを用いて、三ループまでを完全な色依存性を含めて評価する。
• ラグランジアン挿入の位置について積分し、四ループウィルソンループの主要な紫外発散を抽出する。
• この発散が、$χ=4$ SYMにおける四ループのカスプ異常次元に比例することを特定する。
• 超対称的分解を適用して、$χ=4$ SYMの結果をQCDの結果に結びつけ、ゲージ系の四次カルタン寄与を分離する。
• 標準的な群論および色テンソルの縮約を用いて、結果を$C_A$、$C_F$、$T_F$、および四次カルタン$\frac{d^{abcd}_R d^{abcd}_A}{N_R}$の形で表す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非平面的補正を含む$χ=4$ 超ヤン・ミルズ理論における完全な四ループcusp異常次元は何か？
• RQ2 QCDにおける四ループで四次カルタン色因子はカスプ異常次元にどのように寄与するか？
• RQ3 $χ=4$ SYMにおける非平面的補正を用いて、四ループQCDカスプ異常次元の欠落項を導出可能か？
• RQ4 QCDにおけるカスプ異常次元は四ループでカルタンスケーリングを満たすか？満たさない場合、その破れの性質は何か？
• RQ5 四ループカスプ異常次元の解析的構造は、リーマンゼータ関数および超越定数のどの組み合わせで表されるか？

主な発見

• 四ループカスプ異常次元は、$χ=4$ 超ヤン・ミルズ理論で $\Gamma_{\rm cusp}|_{\alpha_s^4} = -\left(\frac{\alpha_s N}{\pi}\right)^4 \left[\frac{73\pi^6}{20160} + \frac{\zeta_3^2}{8} + \frac{1}{N^2}\left(\frac{31\pi^6}{5040} + \frac{9\zeta_3^2}{4}\right)\right]$ と与えられ、非平面的$1/N^2$補正を含む。
• この結果は、非平面的補正に四次カルタン項が存在することを確認し、四ループでカルタンスケーリングが破れる。
• QCDにおけるゲージ系四次カルタン寄与の解析的値は$-1.97915 \cdot \frac{d^{abcd}_R d^{abcd}_A}{N_R}$ であり、以前の数値結果と一致する。
• 任意の表現$R$について、四ループQCDカスプ異常次元は完全に決定され、$C_A$、$C_F$、$T_F$、および四次カルタンを用いて表された。
• この結果は、QCD散乱振幅における次々に次々に対数的（N$^3$LL）再結合の最後の欠落要因を提供する。
• QCDにおけるカスプ異常次元の導出式は、Mochら（2018年）の数値計算と一致し、解析的手法の妥当性を検証した。