[논문 리뷰] The fundamental category of a stratified space

Jonathan Woolf|arXiv (Cornell University)|2008. 11. 16.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 7인용 수 44

한 줄 요약

이 논문은 구성 가능 층과 코층을 포지티브 경로(포지티브 경로는 더 이상 층에 재진입하지 않는 경로)를 통해 분류하기 위해 기본 군oids의 일반화로, 계층적 공간의 기본 범주를 도입한다. 동치가 있는 계층적 공간에서 국소적으로 0- 및 1-연결된 층을 가진 공간에 대해, 기본 범주는 층형 에탈 씰(층형 씻기)을 공변수 함수자에 의해 분류하고, 계층적 분기 씰(분기 씻기)을 반공변수 함수자에 의해 분류함으로써 맥퍼슨의 결과를 회복하며, 티루먼의 출구 경로 범주를 난이도 조건 없이 확장한다.

ABSTRACT

The fundamental groupoid of a locally 0 and 1-connected space classifies covering spaces, or equivalently local systems. When the space is topologically stratified Treumann, based on unpublished ideas of MacPherson, constructed an `exit category' (in the terminology of this paper, the `fundamental category') which classifies constructible sheaves, equivalently stratified etale covers. This paper generalises this construction to homotopically stratified sets, in addition showing that the fundamental category dually classifies constructible cosheaves, equivalently stratified branched covers. The more general setting has several advantages. It allows us to remove a technical `tameness' condition which appears in Treumann's work; to show that the fundamental groupoid can be recovered by inverting all morphisms and, perhaps most importantly, to reduce computations to the two stratum case. This provides an approach to computing the fundamental category in terms of homotopy groups of strata and homotopy links. We apply these techniques to compute the fundamental category of symmetric products of R^2, stratified by collisions. Two appendices explain the close relations respectively between filtered and pre-ordered spaces and between cosheaves and branched covers (technically locally-connected uniquely-complete spreads).

연구 동기 및 목표

• 계층적 공간에 대해 경로가 재진입하지 않는 출구 경로를 기반으로 하는 새로운 불변량인 기본 범주를 정의하여 기본 군oids를 일반화한다.
• 공변수 함수자와 반공변수 함수자를 통해 기본 범주에서 값이 집합인 함수자에 의해, 동치가 있는 계층적 공간 위의 구성 가능 층과 코층을 분류한다.
• 모든 사상에 대해 국소화함으로써 기본 군oids Π₁X를 기본 범주 Π₁^po X의 '군oids화'로 회복한다.
• 난이도 조건 없이 티루먼의 출구 1-범주를 더 넓은 계층적 공간의 범주로 확장한다.

제안 방법

• 계층적 구조에 대해 순서를 유지하는 경로(즉, po-경로)의 호모토피류를 사용하여, 전순서 공간(포지티브 공간) (X, ≤)의 기본 범주 Π₁^po X를 정의한다.
• 퀸의 정의에 따른 동치가 있는 계층적 공간(즉, 윌슨, 톰-메이어, 시벤만의 국소 콘-유사 공간 포함)으로 제한하여 양호한 호모토피적 행동을 확보한다.
• 호모토피 링크 구조를 사용하여 기본 범주의 계산을 두 층의 경우로 단순화하며, 이 경우에선 층과 링크의 호모토피 군을 통해 계산이 가능하다.
• 기본 범주 위의 집합 값을 갖는 함수자에 대한 분류를 수립하며, 이들이 에탈 공간을 통해 구성 가능 층과 대응됨을 보인다.
• 구성의 이중성을 이용하여 반공변수 함수자가 구성 가능 코층을 분류함을 보이며, 포크의 완전 스프레드를 통해 기하학적으로 계층적 분기 씰과 대응됨을 보인다.
• 모든 사상에 대해 국소화함으로써 기본 군oids Π₁X가 기본 범주 Π₁^po X의 '군oids화'임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 경로가 층의 구조로 인해 가역적이지 않은 계층적 공간에서 기본 군oids는 어떻게 일반화될 수 있는가?
• RQ2 호모토피에 대한 난이도 조건 없이도, 구성 가능 층을 분류할 수 있는 올바른 카테고리 불변량은 무엇인가?
• RQ3 동일한 프레임워크 내에서 구성 가능 층의 분류를 코층과 분기 씰로 확장할 수 있는가?
• RQ4 국소적으로 연결된 층을 가진 동치가 있는 계층적 공간에서, 기본 범주와 기본 군oids 사이의 관계는 어떻게 되는가?
• RQ5 호모토피 링크와 층의 호모토피 군은 기본 범주의 계산에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 국소적으로 0- 및 1-연결된 층을 가진 동치가 있는 계층적 공간에서 기본 범주 Π₁^po X는 공변수 집합 값 함수자에 의해 구성 가능 층을 분류한다.
• 기본 범주 위의 반공변수 집합 값 함수자는 구성 가능 코층을 분류하며, 포크의 완전 스프레드를 통해 기하학적으로 계층적 분기 씰과 대응된다.
• 기본 군oids Π₁X는 모든 사상에 대해 국소화함으로써 기본 범주 Π₁^po X의 국소화와 동형이며, 이는 Π₁^po X의 '군oids화'임을 보여준다.
• 기본 범주는 층과 링크의 호모토피 군을 사용하여 계산할 수 있으며, 일반적인 경우는 두 층의 경우로 단순화된다.
• 이 구성은 국소 홈오모르피즘이 각 층에서 씻기인 맥퍼슨의 계층적 씻기 분류를 회복한다.
• 이 프레임워크는 호모토피에 대한 난이도 조건 없이 티루먼의 출구 1-범주를 확장하며, 구성 가능 층의 분류를 유지한다.