[論文レビュー] The Fundamental Theorem of Asset Pricing for Self-Financing Portfolios

Eckhard Platen, Stefan Tappe|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Stochastic processes and financial applications参考文献 2被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、正の半マルティンゲール資産を持つ市場における自己融資ポートフォリオの資産価格理論の基本定理を、ナマラの仮定なしに確立する。アービタージュの不在が、乗法的特殊半マルティンゲールである等価局所マルティンゲールディーフレーターの存在と同値であることを証明し、そのディーフレーターの乗法的分解における有界変動部と貯蓄口座が関連していることを示している。

ABSTRACT

Consider a financial market with nonnegative semimartingales which does not need to have a num\\'{e}raire. We are interested in the absence of arbitrage in the sense that no self-financing portfolio gives rise to arbitrage opportunities, where we are allowed to add a savings account to the market. We will prove that in this sense the market is free of arbitrage if and only if there exists an equivalent local martingale deflator which is a multiplicative special semimartingale. In this case, the additional savings account relates to the finite variation part of the multiplicative decomposition of the deflator.

研究の動機と目的

• ナマラを仮定しない市場における自己融資ポートフォリオを対象として、資産価格理論の基本定理を確立すること。
• アービタージュの不在を、等価局所マルティンゲールであるディーフレーターの観点から特徴づけること。
• 貯蓄口座が、そのディーフレーターの乗法的分解における有界変動部とどのように関連しているかを明確にすること。
• 古典的なアービタージュの不在条件を、ナマラに依存しない非負の半マルティンゲール価格過程へ一般化すること。

提案手法

• 確率過程の枠組み内で分析が行われており、特に資産価格を半マルティンゲールでモデル化する。
• 鍵となる技術は、乗法的特殊半マルティンゲールである等価局所マルティンゲールディーフレーターを構成することである。
• ディーフレーターの乗法的分解を用いて、局所マルティンゲール部と有界変動部を分離する。
• 貯蓄口座は、ディーフレーターの乗法的分解における有界変動部と正式に関連付けられる。
• 証明は、アービタージュの不在とこのようなディーフレーターの存在との同値性に依拠している。
• アプローチはナマラの存在を仮定せず、より一般な市場モデルへの適用可能性を広げている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ナマラを仮定しない市場において、自己融資ポートフォリオ戦略がどのような条件下でアービタージュを回避するか。
• RQ2 このような市場設定において、等価局所マルティンゲールディーフレーターの正確な特徴づけは何か。
• RQ3 貯蓄口座の導入は、ディーフレーターの乗法的分解とどのように関連しているか。
• RQ4 ナマラを必要としない非負の半マルティンゲール価格過程へ、資産価格理論の基本定理を拡張できるか。
• RQ5 ディーフレーターの有界変動部は、アービタージュの不在を保証するために果たす役割は何か。

主な発見

• 自己融資戦略によるアービタージュの存在がなければ、かつそのときに限り、乗法的特殊半マルティンゲールである等価局所マルティンゲールディーフレーターが存在する。
• 貯蓄口座は、ディーフレーターの乗法的分解における有界変動部と本質的に関連している。
• ディーフレーターの乗法的特殊半マルティンゲール性により、割引された資産価格過程が局所マルティンゲールとなる局所マルティンゲール測度の存在が保証される。
• アービタージュの不在は、すべての自己融資戦略の資産価格過程を割引後、局所マルティンゲールにするようなディーフレーターの存在と同値である。
• 古典的なアービタージュの定理を一般化し、ナマラの必要性を排除することで、より広範な半マルティンゲールモデルに適用可能である。
• ディーフレーターの構造は、非負の資産価格を持つ不完全市場における価格設定とヘッジの統一的枠組みを提供する。