[論文レビュー] The Futaki invariant and the Mabuchi energy of a complete intersection

D. H. Phong, Jacob Sturm|ArXiv.org|Dec 31, 2003

Geometry and complex manifolds参考文献 12被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、デリーニペアリングとラインバンド上の計量を用いて、射影空間内の滑らかな完備交叉におけるマブッチ・エネルギーおよびアビン＝ヨー関数の非線形公式を確立する。無限小作用によるチャウ点への群作用を通じて一般化されたフタキ不変量の標準的構成を提供し、Kエネルギーの退化したノルム表現を定義多項式を用いて新たに幾何的に特徴付ける。

ABSTRACT

We study the Futaki invariant and the Mabuchi K-energy of a Kähler manifold $M$ using the Deligne pairing technique developed in earlier papers. We first prove a rather simple characterization of the Futaki character: The Futaki character on a Q-Fano variety is the eigenvalue of the action of $Aut(M)$ on $Chow(M)$, the Chow point of $M$. We use this to give a new proof of Lu's theorem on the Futaki invariant of a complete intersection. In the last theorem, we prove a non-linear generalization of Lu's formula which expresses the K-energy of a smooth complete intersection as a singular norm on the space of defining polynomials.

研究の動機と目的

• 滑らかな代数多様体のチャウ点における正則ベクトル場の作用を用いて、一般化されたフタキ不変量の幾何的特徴づけを提供すること。
• デリーニペアリング技法を用いて、完備交叉におけるマブッチエネルギーおよびアビン＝ヨー関数の明示的公式を導出すること。
• ルのハイパーサーフェスに対するフタキ不変量の公式を、計量化依存の付加公式を介して、より高次元の完備交叉へと拡張すること。
• Kエネルギーを定義多項式の空間上の退化したノルムとして表現し、ハイパーサーフェスに対する既存の結果を一般化すること。

提案手法

• 滑らかな射影多様体の標準バンドルを符号化する、$n+1$ 個の因子を持つ標準的一次元ラインバンドル $\mathcal{F} = \langle K^{-1}, \dots, K^{-1} \rangle$ をデリーニ交差ペアリングを用いて構成する。
• 多様体 $M$ 上の正則ベクトル場の作用を $\mathcal{F}$ 上へ持ち上げ、無限小固有値をフタキ不変量として同定する。
• 計量変動原理を適用：エネルギー関数はデリーニペアリング内の計量の変動として導かれる。これによりリッチ曲率およびフルビーニ＝シュテュルム計量を含む公式が得られる。
• 計量化付きの付加公式を用いて、完備交叉の標準バンドルをハイパーサーフェスバンドルおよび定義多項式と関連付ける。
• 定義セクションの曲率に由来する対数項を含む、ノルム $||F||_{\mathcal{M}}^2$ を用いた $SL(N+1)$ 変換におけるKエネルギーの変換則を導出する。
• マブッチエネルギーが $\nu_\omega(\phi_\sigma) = \log \frac{||F^\sigma||_{\mathcal{M}}^2}{||F||_{\mathcal{M}}^2}$ で与えられることを示し、$||F||_{\mathcal{M}}^2$ は多様体上での対数曲率項の積分を含む退化計量によって定義される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化されたフタキ不変量は、多様体のチャウ点における作用を用いて、どのように幾何的に特徴づけられるか？
• RQ2 射影空間内の滑らかな完備交叉におけるマブッチエネルギー関数の明示的表現は何か？
• RQ3 Kエネルギーは、定義多項式の空間上の退化したノルムとして表現可能か？これはハイパーサーフェスに対する既知の公式を一般化するものか？
• RQ4 デリーニペアリング形式は、Q-ファノの場合のフタキ特性の標準的構成をどのように可能にするか？
• RQ5 SL(N+1)作用はKエネルギーの変換にどのように寄与するか？なぜGL(N+1)ではなくSL(N+1)に制限されるのか？

主な発見

• 一般化されたフタキ不変量は、多様体のチャウ点における正則ベクトル場の無限小作用の固有値として同定される。
• マブッチエネルギーに対して新しい公式 $\nu_\omega(\phi_\sigma) = \log \frac{||F^\sigma||_{\mathcal{M}}^2}{||F||_{\mathcal{M}}^2}$ が導出され、ここで $||F||_{\mathcal{M}}^2$ は対数曲率項の積分を含む退化計量によって定義される。
• マブッチエネルギーが定義多項式の空間上の退化したノルムとして表現可能であることが示され、ハイパーサーフェスに対する以前の結果が一般化される。
• Kエネルギーの公式は、$\sigma \in SL(N+1)$ の場合にのみ成り立つ。これは、$SL(N+1)$ における canonical isomorphism $K^{-1}_{{\mathbb{P}}^N} \cong \mathcal{O}_{{\mathbb{P}}^N}(N+1)$ の等変性が $GL(N+1)$ では成り立たないためである。
• この構成により、マブッチエネルギーを生み出す計量変動を持つ標準ラインバンドル $\mathcal{F}$ が得られ、関数の幾何的起源が明確化される。
• 本論文は、ルのハイパーサーフェスに対するフタキ不変量公式の非線形一般化を確立し、彼のハイパーサーフェスに関する以前の研究を拡張する。