[論文レビュー] The genealogy of a sample from a binary branching process

Amaury Lambert|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2017

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、時刻連続な2進分岐過程の末端から一様に抽出されたkサンプルの系統的関係が、サンプリング確率Yが不適切な事前分布y⁻¹dyに従うベルヌーイ抽出による共析点過程（CPP）の混合分布として分布することを確立している。主な結果は、明示的なデ・フィネッティ型表現であり、Yを条件としたとき、kサンプルのノードの深さは独立同分布に従う。これにより、Yと、密度が修正されたi.i.d.深さ分布を含む2段階のプロセスを用いた、効率的なシミュレーションと推論が可能になる。

ABSTRACT

At time 0, start a time-continuous binary branching process, where particles give birth to a single particle independently (at a possibly time-dependent rate) and die independently (at a possibly time-dependent and age-dependent rate). A particular case is the classical birth--death process. Stop this process at time $T>0$. It is known that the tree spanned by the $N$ tips alive at time $T$ of the tree thus obtained (called reduced tree or coalescent tree) is a coalescent point process (CPP), which basically means that the depths of interior nodes are iid. Now select each of the $N$ tips independently with probability $y$ (Bernoulli sample). It is known that the tree generated by the selected tips, which we will call Bernoulli sampled CPP, is again a CPP. Now instead, select exactly $k$ tips uniformly at random among the $N$ tips ($k$-sample). We show that the tree generated by the selected tips is a mixture of Bernoulli sampled CPPs with the same parent CPP, over some explicit distribution of the sampling probability $y$. An immediate consequence is that the genealogy of a $k$-sample can be obtained by the realization of $k$ random variables, first the random sampling probability $Y$ and then the $k-1$ node depths which are iid conditional on $Y=y$.

研究の動機と目的

• 時刻連続な2進分岐過程のN個の現存末端から一様に抽出されたkサンプルの系統的構造を同定すること。
• 一般の時刻非定常的かつマルコフ過程でない分岐ダイナミクス下で、kサンプルにおけるノード深さの同時分布を記述する長年の未解決問題を解消すること。
• i.i.d. 深さ分布の混合として、kサンプルの系統的関係を構成的かつシミュレーション可能な形で表現すること。
• 有限交換可能なノード深さ列（k-1個の深さ）に対して、無限に拡張可能な埋め込みが存在しない状況でも、デ・フィネッティ型表現が成り立つことを確立すること。

提案手法

• 本稿では、時刻および年齢に依存する出生率と死滅率を持つ分割木として全木をモデル化し、時刻TにおけるN ≥ 1個の現存末端を条件とする。
• 全プロセスの縮小木（共析木）が、i.i.d. ノード深さを持つ共析点過程（CPP）であることを示し、逆尾分布Fによって特徴づけられる。
• kサンプリングのため、ランダムなサンプリング確率Yを用いたベルヌーイ抽出を、正確にk個の選択末端を持つように条件づけることで、ノード深さの分布を導出する。
• Yの混合分布が不適切事前分布y⁻¹dyに一致することを特定し、Yを条件としたとき深さがi.i.d. に従うデ・フィネッティ型表現が得られることを示す。
• 測度の変更と条件付き確率の議論を用いて、kサンプルにおけるノード深さの同時密度をYに関する混合として導出する。
• 得られたシミュレーションアルゴリズムでは、まずYを後方分布μₖから抽出し、次にf_y(x)に比例する密度を持つk−1個のi.i.d. 深さを抽出する。ここでf_yは、Y=yの下での共析時刻Hの密度である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の時刻非定常的かつ非マルコフ的分岐ダイナミクスを持つ2進分岐過程の末端から一様に抽出されたkサンプルにおけるノード深さの同時分布は何か？
• RQ2 kサンプルの系統的関係は、ベルヌーイ抽出によるCPPのような単純なプロセスの混合として表現可能か？
• RQ3 無限交換可能拡張が存在しない状況でも、kサンプルにおけるk−1個のノード深さの有限交換可能列に対して、デ・フィネッティ型表現が存在するか？
• RQ4 統計的推論のため、kサンプル木の尤度を効率的に計算する方法は何か？

主な発見

• kサンプルの系統的関係は、(0,1) 上で不適切事前分布y⁻¹dyに従うサンプリング確率Yを持つベルヌーイ抽出によるCPPの混合分布として分布する。
• Y = yを条件としたとき、kサンプルのk−1個のノード深さは、f_y(x)に比例する密度を持つi.i.d. に従う。ここでf_yは、Y = yの下での共析時刻Hの密度である。
• kサンプルにおけるノード深さの同時密度は、方程式(13)で明示的に与えられ、Yの後方分布μₖに関する混合として表現される。
• この表現により、効率的なシミュレーションが可能になる：まずμₖからYを抽出し、次にf_yに比例する条件付き密度からk−1個のi.i.d. 深さを抽出する。
• kサンプル木の尤度は、定数時間/木の割合で数値的に計算可能であり、補題5で示されている。
• 本結果は、先行研究の表現を一般化・簡略化しており、特に[11]および[5]の結果を包含し、時刻定常な出生・死滅過程の場合に[5]の命題5.2と一致する。