[論文レビュー] The (Generalized) Orthogonality Dimension of (Generalized) Kneser Graphs: Bounds and Applications

Alexander Golovnev, Ishay Haviv|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2020

Advanced Graph Theory Research参考文献 39被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、実数体上のグラフの直交次元を近似する問題について、初めてNP困難性を確立した。具体的には、十分大きな t に対して、直交次元が t 未満であるか、3t/2 − c 以上であるかを区別することはNP困難であることを示した。さらに、任意の正の δ に対して、n 頂点の三角形を含まないグラフを、有限体上に明示的に構成し、その直交次元が n^{1−δ} 未満となることを示した。これにより、すべての有限体上での奇数交互サイクル予想が反証され、一般化されたケネザー・グラフの minrank の境界を用いた回路複雑性の進展が達成された。

ABSTRACT

The orthogonality dimension of a graph $G=(V,E)$ over a field $\mathbb{F}$ is the smallest integer $t$ for which there exists an assignment of a vector $u_v \in \mathbb{F}^t$ with $\langle u_v,u_v angle eq 0$ to every vertex $v \in V$, such that $\langle u_v, u_{v'} angle = 0$ whenever $v$ and $v'$ are adjacent vertices in $G$. The study of the orthogonality dimension of graphs is motivated by various applications in information theory and in theoretical computer science. The contribution of the present work is two-fold. First, we prove that there exists a constant $c$ such that for every sufficiently large integer $t$, it is $\mathsf{NP}$-hard to decide whether the orthogonality dimension of an input graph over $\mathbb{R}$ is at most $t$ or at least $3t/2-c$. At the heart of the proof lies a geometric result, which might be of independent interest, on a generalization of the orthogonality dimension parameter for the family of Kneser graphs, analogously to a long-standing conjecture of Stahl (J. Comb. Theo. Ser. B, 1976). Second, we study the smallest possible orthogonality dimension over finite fields of the complement of graphs that do not contain certain fixed subgraphs. In particular, we provide an explicit construction of triangle-free $n$-vertex graphs whose complement has orthogonality dimension over the binary field at most $n^{1-δ}$ for some constant $δ>0$. Our results involve constructions from the family of generalized Kneser graphs and they are motivated by the rigidity approach to circuit lower bounds. We use them to answer a couple of questions raised by Codenotti, Pudlák, and Resta (Theor. Comput. Sci., 2000), and in particular, to disprove their Odd Alternating Cycle Conjecture over every finite field.

研究の動機と目的

• 実数体上のグラフの直交次元を近似する問題の計算的困難性を確立すること。
• 有限体上の一般化されたケネザー・グラフの minrank と直交次元を解析することで、回路複雑性における未解決の問題を解決すること。
• 低 minrank かつ短い奇数サイクルを含まないグラフの明示的構成を用いて、すべての有限体上での奇数交互サイクル予想を反証すること。

提案手法

• ケネザー・グラフにおける一般化された直交次元に関する幾何的結果を証明し、スタールの予想に類似した形とした。
• 有限体上での対称行列表現を用い、二項係数の和に関する組合せ的境界を用いて、一般化されたケネザー・グラフ K<(d, d/2, m) の minrank を評価した。
• レムペルの結果を応用し、F2 上の低ランク対称行列が低次元直交表現をもたらすことを示した。
• 二項分布のエントロピー関数 H(p) を用いて、サイズが d/2 − m 未満の部分集合の数を評価し、部分線形 minrank の境界を得た。
• K<(d, d/2, m) において m = d/(2ℓ) を選ぶことで、長さ ≤ℓ の奇数サイクルを含まないグラフを構成し、交差性のスパarsity を保証した。
• G とその補グラフの minrank の双対性を活用し、minrank(G) の下界を minrank(G) の上界から導出し、ベクトル彩色数と minrank の間の分離を証明した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実数体上のグラフの直交次元を 4/3 より良い要因で近似することは、NP困難であるか？
• RQ2 F2 上で、n に対して顕著にサブラインラーレベル未満の直交次元をもつ三角形を含まないグラフの明示的構成は可能か？
• RQ3 奇数交互サイクル予想は、すべての有限体上で成り立つか、特に minrank と直交次元の文脈で成り立つか？
• RQ4 有限体上での一般化されたケネザー・グラフ K<(d, s, m) の minrank の最もタイトな上界は何か？
• RQ5 ベクトル彩色数が有界であっても、グラフのベクトル彩色数と minrank の間に分離を示せるか？

主な発見

• 十分大きな t に対して、実数体上のグラフの直交次元が t 未満か、3t/2 − c 以上かを決定することは、ある定数 c に対して NP 困難である。
• 任意の奇数 ℓ ≥ 3 に対して、δ = δ(ℓ) > 0 が存在し、十分大きな n に対して、すべての有限体 F 上で、n 頂点の三角形を含まないグラフ G が存在し、minrkF(G) ≤ n^{1−δ} となる。
• コデンォッティ、プドラーク、レスタの奇数交互サイクル予想は、すべての有限体上で反証された。短い奇数サイクルを含まず、minrank が低い明示的グラフが存在するためである。
• 一般化されたケネザー・グラフ K<(d, d/2, d/8) に対して、任意の有限体上での minrank は 2^{H(3/8)·d} = o(n) 未満であり、n = (d choose d/2) である。これは、δ < 1 − H(3/8) に対して minrank(G) ≤ n^{1−δ} を意味する。
• K<(d, d/2, d/8) のベクトル彩色数は 3 未塔であるが、minrank は o(n) であるため、ベクトル彩色数と minrank の間に非定数の分離が存在する。
• このようなグラフの補グラフの minrank は δ < 1 − H(3/8) に対して n^δ 以上であるため、この構成において minrank とその補グラフの間の強い双対性が示された。