[論文レビュー] The generalized quadratic covariation for fractional Brownian motion with Hurst index less than 1/2

Litan Yan, Chao Chen+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2011

Stochastic processes and financial applications参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、可測関数のバナッハ空間 $\mathscr{H}_*$ を用いた新しいアプローチにより、Hurst指数 $H < 1/2$ の分数 Browm運動に対して一般化された二次共分散 $[f(B^H), B^H]^{(W)}$ の存在を確立する。共分散と重み付き局所時間の間のボレール＝ヨル型の恒等式を証明し、$\mathscr{H}_*$ に属する導関数を持つ絶対連続関数に対して分数イトの公式を導出し、マルコフ的でもセミマルティンググであるでもない過程への確率積分の拡張を実現する。

ABSTRACT

Let $B^H$ be a fractional Brownian motion with Hurst index $0

研究の動機と目的

• Hurst指数 $H < 1/2$ の分数 Browm運動に対する一般化された二次共分散の理論を拡張すること。ここで標準的手法は効かない。
• 一般化された二次共分散が $L^2$ で存在するように、可測関数のバナッハ空間 $\mathscr{H}_*$ を定義すること。
• 共分散と $B^H$ の重み付き局所時間 $\mathscr{L}^H$ の間の関係を示すボレール＝ヨル型の恒等式を確立すること。
• 導関数が $\mathscr{H}_*$ に属する絶対連続関数に対して、$H < 1/2$ に対して有効な分数イトの公式を導出すること。
• 時間に依存する関数へ結果を拡張し、連続曲線に沿った重み付き局所時間を定義すること。

提案手法

• 一般化された二次共分散を極限 $[f(B^H), B^H]^{(W)}_t = \lim_{\varepsilon \downarrow 0} \frac{2H}{\varepsilon^{2H}} \int_0^t \{f(B^H_{s+\varepsilon}) - f(B^H_s)\}(B^H_{s+\varepsilon} - B^H_s)s^{2H-1}ds$ で定義する。
• 滑らか化子近似と導関数の $L^2$-ノルムの制御を用いてバナッハ空間 $\mathscr{H}_*$ を構成する。
• 積分の分解と差分作用素の $L^2$-有界性を用いて、共分散の $L^2$ における存在を証明する。
• ボレール＝ヨル恒等式を確立：$f \in \mathscr{H}_*$ に対して $[f(B^H, \cdot), B^H]^{(W)}_t = -\int_0^t \int_\mathbb{R} f(x,s) \mathscr{L}^H(dx,ds)$。
• 滑らか化子 $\zeta_n$ を用いた滑らか化手続きにより $C^{1,1}$ 関数を近似し、$H < 1/2$ の領域へのイトの公式の拡張を実現する。
• 連続曲線 $a(t)$ 沿いに $\mathscr{L}^H(a(\cdot), t) = \int_0^t \int_\mathbb{R} \mathbf{1}_{(-\infty, a(s))}(x) \mathscr{L}^H(dx, ds)$ を用いて重み付き局所時間を定義し、$L^2$ で単調増加かつ連続であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 H < 1/2 および適切な $f$ に対して、一般化された二次共分散 $[f(B^H), B^H]^{(W)}$ は $L^2$ で存在するか？
• RQ2 H < 1/2 に対して、共分散と重み付き局所時間 $\mathscr{L}^H$ の間のボレール＝ヨル型の恒等式を確立できるか？
• RQ3 H < 1/2 に対して、一般化された二次共分散を補正項として含む分数イトの公式は存在するか？
• RQ4 H < 1/2 に対して、連続曲線に沿った $B^H$ の重み付き局所時間を定義できるか？
• RQ5 どの関数空間 $\mathscr{H}_*$ が、H < 1/2 における一般化された二次共分散の $L^2$ における存在を保証するか？

主な発見

• 関数 $f \in \mathscr{H}_*$ のとき、すべての $t \in [0,T]$ に対して一般化された二次共分散 $[f(B^H, \cdot), B^H]^{(W)}_t$ は $L^2$ で存在し、$\mathbb{E}\left|[f(B^H, \cdot), B^H]^{(W)}_t\right|^2 \leq C_H \|f\|_{\mathscr{H}_*}^2$ を満たす。
• ボレール＝ヨル恒等式が成立する：$f \in \mathscr{H}_*$ かつ $H < 1/2$ のとき、$[f(B^H, \cdot), B^H]^{(W)}_t = -\int_0^t \int_\mathbb{R} f(x,s) \mathscr{L}^H(dx, ds)$。
• 分数イトの公式が確立される：$F \in C^{1,1}$ で $f = \partial_x F \in \mathscr{H}_*$ のとき、$F(B^H_t, t) = F(0,0) + \int_0^t f(B^H_s, s) dB^H_s + \int_0^t \partial_t F(B^H_s, s) ds + \frac{1}{2}[f(B^H, \cdot), B^H]^{(W)}_t$ が成り立つ。
• 連続曲線 $a(t)$ に対して、重み付き局所時間 $\mathscr{L}^H(a(\cdot), t)$ は、積分表現 $\int_0^t \int_\mathbb{R} \mathbf{1}_{(-\infty, a(s))}(x) \mathscr{L}^H(dx, ds)$ を用いて $L^2$ で単調増加かつ連続な過程として適切に定義される。
• $\mathscr{H}_*$ は滑らか化子近似を用いて構成され、導関数が重み付き測度 $s^{2H-1}ds$ に関して $L^2$-可積分である関数を含む。これにより共分散の $L^2$-有界性が保証される。
• 従来の $H < 1/2$ における手法が失敗する状況において、本手法は成功を収めた。特に $H > 1/2$ に用いられる標準的な時刻反転法や積分分解法は、$H < 1/2$ では効果を示さない。