[論文レビュー] The Geometrical Structure of Phase Space of the Controlled Hamiltonian System with Symmetry

Hong Wang|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2018

Control and Stability of Dynamical Systems参考文献 23被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、余接 bundle 上に定義された制御ハミルトニアン（CH）系の Marsden-Weinstein 減少における完全性を分析することにより、対称性を有する制御ハミルトニアン系の厳密な幾何的枠組みを確立する。可縮可能なCH系、CH同値性、および正則点／軌道の減少の定義を導入し、シンプレクティック減少空間がRCH構造を引き継ぐことを証明し、剛体、重力上部、内部ローターを有する宇宙船といった系を、タイプIおよびタイプIIのハミルトン＝ジャコビ方程式を用いて一様に取り扱うことが可能になる。

ABSTRACT

In this paper, from the viewpoint of completeness of Marsden-Weinstein reduction, we illustrate how to give the definitions of a controlled Hamiltonian (CH) system and a reducible controlled Hamiltonian system with symmetry; and how to describe the dynamics of a CH system and the controlled Hamiltonian equivalence; as well as how to give the regular point reduction and the regular orbit reduction for a CH system with symmetry, by analyzing carefully the geometrical and topological structures of the phase space and the reduced phase space of the corresponding Hamiltonian system. We also introduce briefly some recent developments in the study of reduction theory for the CH systems with symmetries and applications. These research work reveal the deeply internal relationships of the geometrical structures of phase spaces, the dynamical vector fields and controls of the CH systems.

研究の動機と目的

• 余接 bundle 上に定義されたCH系におけるMarsden-Weinstein減少の不完全性を、位相空間および減少位相空間の幾何学的構造を分析することによって解決する。
• 対称性を有する制御ハミルトニアン（CH）系および可縮可能なCH系を、減少系が常に適切に定義されるように定義する。
• 制御による構造的変化を減少力学に特徴付けるために、CH同値性、RpCH同値性、RoCH同値性を確立する。
• 運動量写像を有するCH系に対する正則点および軌道の減少理論を構築し、シンプレクティック構造の保存を保証する。
• RCH系の減少版に対して、タイプIおよびタイプIIのハミルトン＝ジャコビ方程式を導出し、異なる力学系における不変な内部力学を明らかにする。

提案手法

• 余接 bundle 上の対称性を有するハミルトニアン系の位相空間および減少位相空間の幾何学的・位相的構造を分析する。
• 余接 bundle にMarsden-Weinstein減少を適用し、減少空間が余接 bundle に保たれる（すなわち、減少が完全である）ための条件を同定する。
• 減少空間が適切に定義されたシンプレクティック構造を有することを要件とする、正則可縮可能な制御ハミルトニアン（RCH）系の概念を導入する。
• 制御変換の下での力学的ベクトル場およびシンプレクティック形式の同値性を用いて、CH同値性、RpCH同値性、RoCH同値性を定義する。
• 標準的および減少シンプレクティック形式にかかる幾何的制約を分析することで、タイプIおよびタイプIIのハミルトン＝ジャコビ方程式を導出する。
• 具体的な系にこの枠組みを適用する：剛体、重力上部、内部ローターを有する宇宙船。詳細な計算により、減少およびハミルトン＝ジャコビ構造の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 余接 bundle 上に定義されたCH系に対して、Marsden-Weinstein減少が完全となる幾何学的・位相的条件は何か？
• RQ2 どのような条件下で、対称性を有する制御ハミルトニアン系を定義すれば、その減少系が適切に定義されたハミルトニアン系となるか？
• RQ3 二つのCH系がCH同値となるための明確な条件は何か？ また、これらの同値性は正則点および軌道の減少とどのように関係するか？
• RQ4 正則点減少されたRCH系の幾何的構造から、タイプIおよびタイプIIのハミルトン＝ジャコビ方程式はどのように導かれるか？
• RQ5 異なる物理的構成（例：剛体 vs. ローターを有する重力上部）の系において、同じ形のハミルトン＝ジャコビ方程式が出現しうるか？ これはそれらの系の背後にある力学に何を示唆するか？

主な発見

• 余接 bundle 上のCH系のMarsden-Weinstein減少は常に完全ではない。減少空間が余接 bundle に一致しない場合があり、これにより可縮可能なCH系の定義を洗練させる必要がある。
• 正則可縮可能な制御ハミルトニアン（RCH）系は、正則点および軌道の減少がシンプレクティック多様体を生成し、それらが適切に定義されたRCH力学を支えるように定義される。
• 正則点減少による制御剛体-ローター系および重力上部-ローター系は、両方ともシンプレクティック葉上にRCH系として実現され、$R_p$-減少を用いた一様な取り扱いが可能になる。
• 正則点減少された制御剛体-ローター系および重力上部-ローター系のタイプIおよびタイプIIのハミルトン＝ジャコビ方程式は、異なる配置空間およびハミルトニアンを有するにもかかわらず、形式が同一である。これは深い構造的不変性を示唆する。
• 正則点減少の方法およびハミルトン＝ジャコビ方程式の導出は一般化され、宇宙船-ローター系および水中車両-ローター系に対しても成功裏に適用され、その広範な適用可能性が確認された。
• RCH系の力学的ベクトル場にかかる、標準的および減少シンプレクティック形式の幾何的制約条件が正確に導出され、それらは二種類のハミルトン＝ジャコビ方程式に対応している。