[論文レビュー] The geometry of cubical and regular transition systems

Philippe Gaucher|arXiv (Cornell University)|May 20, 2014

Mathematics and Applications参考文献 1被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、立方体遷移系のより洗練された部分クラスとしての正則遷移系を導入し、各立方体が正しい数の面を持つことを保証する。立方体遷移系および正則遷移系におけるファイブレーション的対象の完全な組合せ的特徴付けを提供し、全反映的部分圏への随伴の制限に関する一般補題を確立することで、立方体系から正則系へのモデル構造の転送を可能にする。

ABSTRACT

There exist cubical transition systems containing cubes having an arbitrarily large number of faces. A regular transition system is a cubical transition system such that each cube has the good number of faces. The categorical and homotopical results of regular transition systems are very similar to the ones of cubical ones. A complete combinatorial description of fibrant cubical and regular transition systems is given. One of the two appendices contains a general lemma of independant interest about the restriction of an adjunction to a full reflective subcategory.

研究の動機と目的

• 各立方体が正しい数の面を持つ well-behaved な立方体遷移系の部分クラスとしての正則遷移系を定義し、それらを研究すること。
• 立方体遷移系および正則遷移系の両モデルカテゴリにおけるファイブレーション的対象の完全な組合せ的記述を提供すること。
• モデル構造の転送のための一般的な圏論的道具（全反映的部分圏への随伴の制限）を確立すること。
• 正則遷移系のホモトピー的および圏論的性質が立方体系と密接に類似していることを示すこと。
• 正則遷移系を、明確な高次元構造を持つ並行プロセスのモデリングの基盤として支持すること。

提案手法

• すべての n 次元立方体が正確に 2n 個の面を持つように、立方体遷移系の一部として正則遷移系を定義し、幾何的直感と整合性を保つ。
• 合成（または整合性）公理を用いて、すべての低次元遷移が高次元のものから生成されることを強制する。
• 弱因子化系および左決定モデル圏の理論を用いて、正則遷移系上にモデル構造を構成する。
• 立方体化関手によるボウスフィールド局所化を用いて、正則系のモデル構造を立方体系のそれと関連付ける。
• 付録 B に開発された一般補題（全反映的部分圏への随伴の制限）を用い、シリンダー関手およびパス関手の転送を可能にする。
• 弱遷移系の圏が局所的に有限生成的かつトポロジカルであることを利用し、余極限および反映的部分圏の存在を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 立方体遷移系を、各 n 次元立方体が正確に 2n 個の面を持つようにどのように洗練できるか。また、その圏論的結果は何か。
• RQ2 立方体および正則遷移系のモデルカテゴリにおけるファイブレーション的対象の完全な組合せ的特徴付けは何か。
• RQ3 カテゴリ間の随伴を全反映的部分圏に制限する方法は何か。また、随伴性の保存を保証する条件は何か。
• RQ4 正則遷移系のホモトピー的性質が立方体系のそれとどの程度類似しているか。
• RQ5 局所化および反映を用いて、立方体遷移系のモデル構造を正則遷移系に転送できるか。

主な発見

• 正則遷移系は、すべての n 次元立方体が正確に 2n 個の面を持つように定義されており、過剰または不足な面を持つ病理的立方体を排除する。
• ファイブレーション的正則および立方体遷移系の完全な組合せ的記述が提供され、特定の合成および面写像に関する閉包性によって特徴づけられる。
• 正則遷移系のモデル圏が左決定的であることが示され、これは、単射がファイブレーションであり、準同型ファイブレーションがラッププロパティによって定義される最小のモデル構造であることを意味する。
• 立方体化関手は、正則遷移系のモデル圏におけるボウスフィールド局所化を引き起こし、立方体系のより大きな圏と関連付ける。
• 付録 B の一般補題は、随伴が全反映的部分圏に制限されるための必要十分条件を示しており、それは反射関手が左随伴関手と自然同型の意味で可換である場合に限る。
• 立方体から正則遷移系へのシリンダー関手およびパス関手の制限が、随伴制限補題によって適切に保たれ、構造を保存することが示された。