[論文レビュー] The geometry of Grassmannian manifolds and Bernstein type theorems for higher codimension

Jürgen Jost, Y. L. Xin+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 29, 2011

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{G}_{n,m}$ の中で、完全な $n$-部分多様体の調和的ガウス写像に対して強い下調和関数を構成することを可能にする、Grassmann多様体 $\mathbb{G}_{n,m}$ 内の新しい領域 $\mathbb{W}_{\frac{1}{3}}$ を導入する。この領域の幾何構造を活用することで、著者たちはより強い事前推定を導出し、従来の測地的凸性の制限を超えて、高codimensionにおける新しい Bernstein 型定理を証明する。

ABSTRACT

We identify a region $\Bbb{W}_{\f{1}{3}}$ in a Grassmann manifold $\grs{n}{m}$, not covered by a usual matrix coordinate chart, with the following important property. For a complete $n-$submanifold in $\ir{n+m} \, (n\ge 3, m\ge2)$ with parallel mean curvature whose image under the Gauss map is contained in a compact subset $K\subset\Bbb{W}_{\f{1}{3}}\subset\grs{n}{m}$, we can construct strongly subharmonic functions and derive a priori estimates for the harmonic Gauss map. While we do not know yet how close our region is to being optimal in this respect, it is substantially larger than what could be achieved previously with other methods. Consequently, this enables us to obtain substantially stronger Bernstein type theorems in higher codimension than previously known.

研究の動機と目的

• Grassmann多様体の幾何構造を分析することにより、ユークリッド空間内の高codimension部分多様体に対する Bernstein 型定理を拡張すること。
• 従来の知られていた領域よりも大きな領域を $\mathbb{G}_{n,m}$ で特定し、下調和関数の技法を用いてガウス写像が定数であることを示す。
• 標準的な行列座標チャートでカバーされない領域において強い下調和関数を構築することで、測地的凸性の制限を克服すること。
• ガウス写像の像が $\mathbb{W}_{\frac{1}{3}}$ のコンact部分集合にあるという仮定の下で、調和的ガウス写像に対するより強い事前推定を確立すること。
• 新しい領域 $\mathbb{W}_{\frac{1}{3}}$ が厳密に凸関数を支持することを示し、最大原理を適用してガウス写像の定数性を結論づけること。

提案手法

• 標準的な行列座標チャートでカバーされないが、依然として強い下調和関数を支持する $\mathbb{G}_{n,m}$ 内の新しい領域 $\mathbb{W}_{\frac{1}{3}}$ を同定する。
• Ruh-Vilmsの定理を用いて、平行平均曲率と $\mathbb{G}_{n,m}$ へのガウス写像の調和性の関係を関係づける。
• $\mathbb{W}_{\frac{1}{3}}$ に定義された厳密に凸関数とガウス写像の合成に最大原理を適用し、それが定数でなければならないことを示す。
• 非測地的凸集合上での下調和関数の構築における技術的課題を扱うために、高度な調和写像の正則性理論を用いる。
• $\mathbb{R}^4$ 内の codimension 3 の Lawson-Osserman コーンの幾何構造を分析し、ジョルダン角と $w$-関数を計算する。$w \equiv \frac{1}{9}$ であることが示される。
• 正規直交フレームに関するガウス写像の $W$-行列表現を導出し、$w$-関数と $v$-関数を明示的に計算する。その結果、$9$ が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的な測地的球よりも大きな領域を $\mathbb{G}_{n,m}$ の中で用いることで、高codimension部分多様体に対する Bernstein 型定理を証明することは可能か？
• RQ2 行列座標チャートでカバーされない領域において、ガウス写像の定数性を強制する強い下調和関数を構築することは可能か？
• RQ3 $\mathbb{G}_{n,m}$ のどの幾何的性質が、測地的球よりも大きな集合上で厳密に凸関数の存在を可能にするか？
• RQ4 ガウス写像の $w$-関数は、ガウス写像の定数性および高codimensionにおける部分多様体の最小性とどのように関係するか？
• RQ5 codimension 3 の Lawson-Osserman コーンは、新しい領域 $\mathbb{W}_{\frac{1}{3}}$ の鋭さをテストするためのモデルとして用いることができるか？

主な発見

• $\mathbb{W}_{\frac{1}{3}}$ は厳密に凸関数を支持し、ガウス写像像上での強い下調和関数の構成を可能にする。
• 平行平均曲率をもつ完全な $n$-部分多様体 $\mathbb{R}^{n+m}$ において、ガウス写像の像が $\mathbb{W}_{\frac{1}{3}}$ のコンパクト部分集合にあるとき、ガウス写像は定数であり、部分多様体はアフィンであることを意味する。
• LO コーンのガウス写像の $w$-関数は恒等的に $\frac{1}{9}$ であり、対応する $v$-関数は $9$ である。これは、それが臨界的例としての役割を果たしていることを確認する。
• LO コーンのガウス写像像のジョルダン角は $\theta_0 = \arccos(\frac{2}{3})$、$\theta_1 = \theta_2 = \arccos(\frac{\sqrt{6}}{6})$ であり、これらはすべて $\mathbb{W}_{\frac{1}{3}}$ 内にある。
• 新しい領域 $\mathbb{W}_{\frac{1}{3}}$ は、測地的球の半径 $\frac{\sqrt{2}}{4}\pi$ よりも著しく大きい。これにより、従来の結果を超えるより強い Bernstein 型定理が得られる。
• 測地的凸性に基づく従来のアプローチとは異なり、本手法は半径 $\leq \frac{\sqrt{2}}{4}\pi$ の球に閉じ込められる制限を回避し、より強い結果を得ている。