[논문 리뷰] The Geometry of Metrical Multi-time Lagrange Spaces

Mircea Neagu, Constantin Udrişte|arXiv (Cornell University)|2000. 09. 07.

Advanced Differential Geometry Research참고 문헌 7인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 1차 접속다발 $J^1(T,M)$ 위에서 다중시간 라그랑주 기하학을 일반화하여 절대적 시간을 상대론적, 다차원적 시간 다양체 $T$로 대체함으로써 라그랑주 기하학을 비정적( rheonomic )으로 일반화한다. 캐르탕 접속의 존재성과 유일성을 확립하고, 그 비틀림과 곡률 d-텐서를 유도하며, 자율 전자역학 모델에서는 시간 및 공간 메트릭의 곡률 텐서만 존속함을 보여주어 다중시간 장 이론의 기하적 프레임워크를 제공한다.

ABSTRACT

A geometrization of a Kronecker $h$-regular multi-time Lagrangian function with partial derivatives of order one is described, in the sense of d-connections, d-torsions and d-curvatures.

연구 동기 및 목표

• 절대적 시간을 상대론적, 다차원적 시간 다양체 $T$로 대체함으로써 비정적 라그랑주 기하학을 일반화한다.
• 1-jet 다발 $J^1(T,M)$을 구성 공간으로 사용하여 다중시간 라그랑주 함수를 위한 기하적 프레임워크를 개발한다.
• 메트릭 다중시간 라그랑주 공간 $ML^n_p = (J^1(T,M), L)$를 정의하고, 라그랑주언 $\mathcal{L} = L\sqrt{|h|}$를 통해 기하적 구조를 특성화한다.
• 라그랑주에 의해 자연스럽게 유도되는 캐논리컬 비선형 접속 $\Gamma = (M^{(i)}_{(\alpha)\beta}, N^{(i)}_{(\alpha)j})$를 구성한다.
• 메트릭 다중시간 라그랑주 공간 $ML^n_p$에 대해 캐르탕 캐논리컬 접속 $C\Gamma$의 존재성과 유일성을 증명하고, 그 비틀림 및 곡률 d-텐서를 분석한다.

제안 방법

• 1-jet 다발 $J^1(T,M)$ 위에서 크로네커 $h$-정칙 라그랑주 함수 $L$를 사용하여 메트릭 다중시간 라그랑주 공간 $ML^n_p$를 정의하고, $p$차원 시간 다양체 $T$ 위의 준리만 메트릭 $h_{\alpha\beta}(t)$를 고려한다.
• 1-jet 다발 $J^1(T,M) \to T \times M$의 확장 게이지 군에 대한 기하 불변성을 확보하기 위해 라그랑주 밀도 $\mathcal{L} = L\sqrt{|h|}$를 도입한다.
• 라그랑주 함수를 통해 캐논리컬 비선형 접속 $\Gamma = (M^{(i)}_{(\alpha)\beta}, N^{(i)}_{(\alpha)j})$를 구성하고, $J^1(T,M)$의 접속다발의 기하적 분할을 제공한다.
• 메트릭 구조와 비선형 접속을 사용하여 메트릭 다중시간 라그랑주 공간 $ML^n_p$ 위에서 캐르탕 캐논리컬 접속 $C\Gamma$의 존재성과 유일성을 증명한다.
• 접속 계수, 메트릭 텐서, $h_{\alpha\beta}$ 및 $g_{ij}$의 곡률 성분을 포함하는 국소 성분을 사용하여 $C\Gamma$의 비틀림 및 곡률 d-텐서를 유도한다.
• 곡률 d-텐서 $R$을 성분 $R^{(l)(\alpha)}_{(\eta)(i)\beta\gamma}$, $R^{(l)(\alpha)}_{(\eta)(i)\beta k}$, $R^{(l)(\alpha)}_{(\eta)(i)jk}$로 분석하고, $H^\gamma_{\mu\alpha\beta}$ 및 $r^m_{ijk}$에 대한 의존성을 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비정적 라그랑주 기하학은 어떻게 상대론적, 다차원적 시간 다양체 $T$를 수용하도록 일반화될 수 있는가?
• RQ2 1-jet 다발 $J^1(T,M)$ 위에서 메트릭 다중시간 라그랑주 함수 $\mathcal{L} = L\sqrt{|h|}$에 의해 유도되는 캐논리컬 비선형 접속 $\Gamma$는 무엇인가?
• RQ3 메트릭 다중시간 라그랑주 공간 $ML^n_p$에 대해 유일한 캐르탕 캐논리컬 접속 $C\Gamma$가 존재하는가? 그 비틀림 및 곡률 성질은 무엇인가?
• RQ4 캐르탕 캐논리컬 접속 $C\Gamma$의 곡률 d-텐서는 시간 메트릭 $h_{\alpha\beta}$와 공간 메트릭 $g_{ij}$의 곡률 텐서로 어떻게 분해되는가?
• RQ5 시간에 독립적인 자율적 경우(예: 전자역학)에서는 비틀림 및 곡률 d-텐서는 어떻게 되는가?

주요 결과

• 캐논리컬 비선형 접속 $\Gamma = (M^{(i)}_{(\alpha)\beta}, N^{(i)}_{(\alpha)j})$는 라그랑주 함수 $\mathcal{L} = L\sqrt{|h|}$에 의해 유일하게 결정되며, $J^1(T,M)$의 접속다발에 대한 기하적 분할을 제공한다.
• 모든 메트릭 다중시간 라그랑주 공간 $ML^n_p$에 대해 캐르탕 캐논리컬 접속 $C\Gamma$는 존재하고 유일하며, 일관된 기하적 구조를 보장한다.
• 자율 전자역학의 경우 ($g_{ij} = g_{ij}(x^k)$), 모든 비틀림 d-텐서는 $R^{(m)}_{(\mu)\alpha\beta} = -H^\gamma_{\mu\alpha\beta}x^m_\gamma$, $R^{(m)}_{(\mu)\alpha j} = -\frac{h_{\mu\eta}g^{mk}}{4}\left[H^\eta_{\alpha\gamma}U^{(\gamma)}_{(k)j} + \frac{\partial U^{(\eta)}_{(k)j}}{\partial t^\alpha}\right]$, 및 $R^{(m)}_{(\mu)ij} = r^m_{ijk}x^k_\mu + \frac{h_{\mu\eta}g^{mk}}{4}\left[U^{(\eta)}_{(k)i|j} + U^{(\eta)}_{(k)j|i}\right]$를 제외하고는 모두 0이 된다.
• 캐르탕 캐논리컬 접속 $C\Gamma$의 곡률 d-텐서 $R$은 $H^\alpha_{\eta\beta\gamma}$ (시간 메트릭 $h_{\alpha\beta}$의 곡률), $R^l_{i\beta\gamma}$, $R^l_{i\beta k}$, 및 $R^l_{ijk} = r^l_{ijk}$ (공간 메트릭 $g_{ij}$의 곡률)를 포함하는 성분으로 분해되며, $p=1$ 및 $p\geq 2$의 경우에 대한 완전한 표현식이 제공된다.
• $p=1$의 경우 곡률 성분은 $G^l_{i\alpha}$, $L^l_{ik}$, 및 $C^{l(1)}_{i(m)}$의 코안드레보르 도함수를 통해 표현되며, $p\geq 2$의 경우 $H^\alpha_{\eta\beta\gamma}$, $R^l_{i\beta\gamma}$, $R^l_{i\beta k}$, 및 $R^l_{ijk}$에 의존한다.
• 자율 전자역학의 경우 유일하게 비영인 곡률 d-텐서는 $H^\alpha_{\eta\beta\gamma}$ 및 $R^l_{ijk} = r^l_{ijk}$이며, 기하학이 시간 및 공간 메트릭의 곡률로 축소됨을 확인한다.