[논문 리뷰] Nonholonomic Clifford Structures and Noncommutative Riemann--Finsler Geometry

Sergiu I. Vacaru|arXiv (Cornell University)|2004. 08. 09.

Advanced Differential Geometry Research참고 문헌 67인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 비홀로노믹 다양체와 비선형 접속을 비커뮤파티브 리만–핀슬 기하학 및 라그랑주 기하학과 연결하는 기하학적 프레임워크를 수립한다. 클리포드 모듈, 스핀어 및 디랙 연산자를 N-접속에 적응시킴으로써, 비대칭 메트릭과 토크션을 갖는 추상적 리만–카르탕 기하학이 일반화된 핀슬 기하학과 동치임을 증명한다. 이는 스펙트럴 트리플렛과 비홀로노믹 변형을 통한 디랙 연산자에 의한 비커뮤파티브 확장 가능성을 제공한다.

ABSTRACT

We survey the geometry of Lagrange and Finsler spaces and discuss the issues related to the definition of curvature of nonholonomic manifolds enabled with nonlinear connection structure. It is proved that any commutative Riemannian geometry (in general, any Riemann--Cartan space) defined by a generic off--diagonal metric structure (with an additional affine connection possessing nontrivial torsion) is equivalent to a generalized Lagrange, or Finsler, geometry modeled on nonholonomic manifolds. This results in the problem of constructing noncommutative geometries with local anisotropy, in particular, related to geometrization of classical and quantum mechanical and field theories, even if we restrict our considerations only to commutative and noncommutative Riemannian spaces. We elaborate a geometric approach to the Clifford modules adapted to nonlinear connections, to the theory of spinors and the Dirac operators on nonholonomic spaces and consider possible generalizations to noncommutative geometry. We argue that any commutative Riemann--Finsler geometry and generalizations my be derived from noncommutative geometry by applying certain methods elaborated for Riemannian spaces but extended to nonholonomic frame transforms and manifolds provided with nonlinear connection structure.

연구 동기 및 목표

• 국소 이방성과 비홀로노믹 구조를 포함하도록 비커뮤파티브 기하학을 일반화하기.
• 비대칭 리만–카르탕 공간이 비대칭 메트릭을 갖는 경우와 일반화된 핀슬–라그랑주 기하학 사이의 대응 관계를 수립하기.
• 비홀로노믹 공간에서 비선형 접속(N-접속) 구조를 사용하여 스핀어와 디랙 연산자에 대한 프레임워크를 개발하기.
• 비커뮤파티브 기하학의 스펙트럴 작용 원리와 거리 공식을 비홀로노믹 및 이방성 기하학으로 확장하기.
• 스트링 이론과 게이지 중력에 영감을 받은 국소 이방성과 함께 비커뮤파티브 중력 및 장 이론의 기하학적 기초 제공하기.

제안 방법

• 비홀로노믹 다양체 위의 비선형 접속(N-접속)에 대해 클리포드 모듈과 스핀어 구조를 적응시키기.
• 비대칭 메트릭과 N-접속 구조와 호환되는 d-접속(distinguished connections)을 도입하여, 메트릭 호환성 확보하기.
• N-적응 비벨라인과 스핀 d-접속을 일반화하여 N-비완전성 디랙 연산자를 구성하기.
• 세르–스완 정리를 적용하여 벡터 번들을 N-접속 구조를 갖는 프로젝티브 모듈로 모델링하고, 비커뮤파티브 게이지 장 이론의 표현 가능성을 확보하기.
• d-접속과 d-메트릭에 적응시켜 콘네스의 비커뮤파티브 기하학을 비홀로노믹 공간에 적용하여 스펙트럴 트리플렛 유도하기.
• 정규 라그랑주안에서 유도된 캐논리컬 d-접속과 d-메트릭을 사용하여 비커뮤파티브 라그랑주–핀슬 기하학 정의하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비대칭 리만–카르탕 기하학이 비대칭 메트릭과 비자명한 토크션을 갖는 경우, 일반화된 핀슬–라그랑주 기하학으로 동치로 기술될 수 있는가?
• RQ2 클리포드 모듈과 스핀어 구조는 비홀로노믹 다양체에 비선형 접속이 존재할 경우 어떻게 일반화될 수 있는가?
• RQ3 비홀로노믹 공간에서의 디랙 연산자는 어떤 형태를 가지며, 비커뮤파티브 기하학의 스펙트럴 트리플렛과 어떤 관계가 있는가?
• RQ4 N-접속 형식을 통해 비커뮤파티브 기하학이 국소 이방성과 비홀로노믹 구조를 포함하도록 확장될 수 있는가?
• RQ5 비홀로노믹 변형을 거친 디랙 연산자는 비커뮤파티브 중력에서 정확한 해를 어떻게 생성하는가?

주요 결과

• 비대칭 리만–카르탕 기하학이 비대칭 메트릭과 비자명한 토크션을 갖는 경우, 비홀로노믹 다양체 위의 일반화된 라그랑주 또는 핀슬 기하학과 동치이다.
• d-메트릭과 N-접속으로 구성된 캐논리컬 d-접속이 메트릭 호환성을 갖는다는 사실은 비홀로노믹 공간에서 일관된 스핀어 및 디랙 연산자 구조를 수립할 수 있음을 보여준다.
• 주 결과 1은 비홀로노믹 스핀 구조와 d-스핀어의 존재를 증명하며, 라그랑주 스핀 군을 비홀로노믹 환경으로 일반화한다.
• 주 결과 2는 N-연장된 비벨라인과 스핀 d-접속으로부터 N-비완전성 디랙 연산자를 구성할 수 있으며, h- 및 v-분해를 유지함을 증명한다.
• 주 결과 3은 d-스핀어 공간에서 유한성과 양의 성질을 만족하는 거리 공식을 도출하며, 콘네스의 스펙트럴 거리 공식을 비홀로노믹 및 이방성 기하학으로 일반화한다.
• 논문은 비커뮤파티브 리만–카르탕 공간과 라그랑주–핀슬 기하학이 비홀로노믹 프레임 변환과 디랙 연산자의 변형을 통해 생성될 수 있음을 보여주며, 비커뮤파티브 중력 해를 위한 길을 제시한다.