[論文レビュー] The geometry of the divisor of K3 sections

Gavril Farkas, Mihnea Popa|arXiv (Cornell University)|May 7, 2003

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、K3表面に存在する曲線から生じる、Brill-Noether型でない除集合について、交線論的解析を詳細に行っている。これは、10次曲線のモジュライ空間において、4つの幾何的実現形を有しており、そのうちの1つは高ランクBrill-Noether除集合である。この性質を用いて、M_{10,n} の双有理幾何を記述し、M_{11} において大いなるIitaka次元を有する有効的最小スロープ除集合を構成した。これは、M_g において最小スロープを達成する有効的除集合は古典的Brill-Noether除集合のみであるという信念に反する。

ABSTRACT

We carry out a detailed intersection theoretic analysis of the Deligne-Mumford compactification of the divisor on M_{10} consisting of curves sitting on K3 surfaces. This divisor is not of classical Brill-Noether type, and is known to give a counterexample to the Slope Conjecture. The computation relies on the fact that this divisor has four different incarnations as a geometric subvariety of the moduli space of curves, one of them as a higher rank Brill-Noether divisor consisting of curves with an exceptional rank 2 vector bundle. As an application we describe the birational nature of the moduli space of n-pointed curves of genus 10, for all n. We also show that on M_{11} there are effective divisors of minimal slope and having large Iitaka dimension. This seems to contradict the belief that on M_g the classical Brill-Noether divisors are essentially the only ones of slope 6+12/(g+1).

研究の動機と目的

• M_{10} におけるK3表面に存在する曲線の除集合の幾何を、交線論を用いて分析すること。
• この除集合の複数の幾何的実現形、特に例外的ランク2ベクトルバンドルを介した高ランクBrill-Noether除集合としての実現形を理解すること。
• すべての n ≥ 0 に対して、モジュライ空間 M_{10,n} の双有理型を特定すること。
• M_{11} における有効的除集合の最小スロープの存在と性質を調査すること。
• M_g において最小スロープを達成する有効的除集合は古典的Brill-Noether除集合のみであるという一般的な信念に挑戦すること。

提案手法

• M_{10} のDeligne-Mumfordコンパクト化における交線論を用いて、K3表面に存在する曲線の除集合を研究すること。
• この除集合の4つの明確に異なる幾何的実現形（特に、例外的ランク2ベクトルバンドルを介した高ランクBrill-Noether除集合としての実現形）を活用すること。
• 除集合の多重実現形の構造を用いて、すべての n に対する M_{10,n} の双有理的性質を導出すること。
• M_{11} に適用した交線論的結果を用いて、最小スロープかつ大規模なIitaka次元を有する有効的除集合を構成すること。
• これらの除集合のスロープとIitaka次元を分析し、Slope予想および M_g における除集合の分類に与える影響を評価すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 M_{10} におけるK3表面に存在する曲線の除集合の交線論的構造は何か？
• RQ2 この除集合の4つの異なる幾何的実現形は、互いにどのように関係し、既知の除集合類とどのように関係するか？
• RQ3 任意の n に対して、モジュライ空間 M_{10,n} の双有理的性質は何か？
• RQ4 M_{11} に、古典的Brill-Noether型でない有効的最小スロープ除集合が存在するか？
• RQ5 M_{11} におけるこのような除集合は大規模なIitaka次元を有するか？ これはSlope予想にどのような意味を持つのか？

主な発見

• M_{10} におけるK3表面に存在する曲線の除集合は、古典的Brill-Noether型ではなく、Slope予想に対する反例を提供する。
• この除集合は4つの明確に異なる幾何的実現形を有しており、そのうちの1つは例外的ランク2ベクトルバンドルに関連する高ランクBrill-Noether除集合である。
• 除集合の交線論的解析に基づき、すべての n に対して M_{10,n} の双有理幾何が完全に記述されている。
• M_{11} において、最小スロープを達成する有効的除集合が存在し、かつ大規模なIitaka次元を有する。これは、最小スロープを達成するのは古典的Brill-Noether除集合のみであるという信念に反する。
• これらの発見は、M_g において最小スロープを達成する有効的除集合は古典的Brill-Noether除集合のみであるという一般的な理解に挑戦する。