[論文レビュー] The geometry of three-forms in six and seven dimensions

Nigel Hitchin|ArXiv.org|Oct 5, 2000

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ひとこと要約

この論文は、6次元および7次元多様体上の3形式の微分同相変換不変関数を導入し、de Rhamコホモロジー群 $ H^3(M, \mathbb{R}) $ の一般的開集合における臨界点が、6次元では自明な正則なリーマン・カルタン bundle を持つ複素構造、7次元ではリーマン的ホロノミー $ G_2 $ を持つ構造に対応することを示している。この手法により、これらの構造のモジュライ空間が $ H^3(M, \mathbb{R}) $ の局所的開部分集合として自然に現れ、平坦またはヘッセ型の計量構造を持つことが直接的に示され、Kodaira-Spencer理論とは一線を画す新たな視点が得られる。

ABSTRACT

We study the special algebraic properties of alternating 3-forms in 6 and 7 dimensions and introduce a diffeomorphism-invariant functional on the space of differential 3-forms on a closed manifold M in these dimensions. Restricting the functional to closed forms in a fixed cohomology class, we find that a critical point which is generic in a suitable sense defines in the 6-dimensional case a complex threefold with trivial canonical bundle and in 7 dimensions a Riemannian manifold with holonomy G2. This approach gives a direct method of finding a local moduli space, with its special geometry, for these structures.

研究の動機と目的

• 6次元におけるCalabi-Yau 構造および7次元における $ G_2 $-ホロノミー計量の、3形式上の微分同相変換不変関数による直接的な変分的特徴づけを確立すること。
• このような構造のモジュライ空間が、Kodaira-Spencer理論に依存せずに、de Rhamコホモロジー群 $ H^3(M, \mathbb{R}) $ の局所的開部分集合として同型であることを示すこと。
• モジュライ空間に自然に備わる幾何構造—6次元では平坦、7次元ではヘッセ型—が、関数の臨界点から内因的に生じることを示すこと。
• 従来の変形理論とは対照的に、複素構造および $ G_2 $-構造の非障害性を、関数 $ \Phi $ のみに依存する幾何的内因的アプローチによって新たに提供すること。

提案手法

• 3形式 $ \Omega $ から代数的に導かれる体積形式を用いて、写像 $ K_\Omega $ とトレース $ \lambda(\Omega) $ を介し、閉じた3形式の空間に微分同相変換不変関数 $ \Phi $ を定義する。
• $ \Phi $ を固定された de Rham コホモロジー類 $ [\Omega] \in H^3(M, \mathbb{R}) $ に制限し、その臨界点を調べる。
• $ \lambda(\Omega) \neq 0 $ の条件を用いて、一般の3形式が $ SL(3,\mathbb{C}) $（6次元）または $ G_2 $（7次元）への構造群の還元を定義することを特定する。
• ソボレフ空間の枠組みで陰関数定理を適用し、臨界点の集合が $ H^3(M, \mathbb{R}) $ の開部分集合に局所的に微分同相である滑らかな多様体であることを証明する。
• 7次元の場合、3形式の調和分解を $ G_2 $ の下で用いて、$ \Phi $ のヘッセ行列がモジュライ空間上に符号型 $ (1, b_3 - 1) $ の計量を定義することを示す。
• 3形式上の関数と4形式 $ \Theta = \ast\Omega $ 上の関数との間のLegendre双対性を確立し、$ \psi(\Theta) \propto \det C_\Theta^{1/12} $ となることを示す。ここで $ C_\Theta $ は $ v \wedge w \mapsto \iota(v)\iota(w)\Theta $ を定める写像である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 6次元多様体上のCalabi-Yau 構造のモジュライ空間は、変分原理によって $ H^3(M, \mathbb{R}) $ の開部分集合として直接記述可能だろうか？
• RQ2 微分同相変換不変関数の臨界点構造が、7次元において自然に $ G_2 $-ホロノミー計量を生じるだろうか？
• RQ3 特に平坦またはヘッセ型計量であるモジュライ空間の幾何は、3形式の代数的構造とその関数の構造からどのように生じるのか？
• RQ4 Kodaira-Spencer理論に依存せずに、関数 $ \Phi $ のみを用いて複素構造および $ G_2 $-構造の非障害性を証明できるだろうか？
• RQ5 4形式上の双対関数の正確な代数的形は何か？また、それは $ G_2 $-不変体積形式とどのように関係するのか？

主な発見

• 6次元において、3形式上の関数 $ \Phi $ の臨界点は、$ \lambda(\Omega) \neq 0 $ の条件下で、自明な正則なリーマン・カルタン bundle を持つ複素3流体に対応する。
• 7次元において、$ \Phi $ の臨界点は、$ \lambda(\Omega) \neq 0 $ の条件下で、ホロノミー $ G_2 $ を持つリーマン多様体に対応する。
• このような構造のモジュライ空間は、$ H^3(M, \mathbb{R}) $ の開部分集合に局所的に同型であり、6次元では平坦な特別な擬ケーラー構造、7次元では符号型 $ (1, b_3 - 1) $ のヘッセ型計量を持つ。
• $ \Phi $ は形式的にモース＝ボット的であり、微分同相変換の軌道に対して非退化なヘッセ行列を持つため、ソボレフ空間における陰関数定理の適用が可能である。
• 3形式上の関数はLegendre双対性により4形式上の関数と同等であり、$ \Psi(\Theta) \propto \int_M \det C_\Theta^{1/12} \, \mathrm{d} \mathrm{vol} $ となる。ここで $ C_\Theta $ は $ \Lambda^2 W $ 上の縮約写像である。
• モジュライ空間に自然な平坦構造が存在することは、当初から明白であり、従来の方法とは対照的に、変形理論から導かれるのではなく、内因的である。