[論文レビュー] The geometry of weakly selfdual Kahler surfaces

Vestislav Apostolov, David M. J. Calderbank+1 more|ArXiv.org|Apr 25, 2001

Geometry and complex manifolds参考文献 5被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、調和的反自己双対WeylテンソルをもつKähler 4多様体（弱く自己双対Kähler表面）を、双ハミルトニアン構造を示すことによって分類する。両方のスカラー曲率と正規化されたリッチ形式のPfaffianが、可換なハミルトニアンキリングベクトル場のためのポisson可換なモーメンタム写像である。著者らは、四次多項式と定数に依存する明示的な局所分類を提示し、コンパクトな弱く自己双対Kähler表面が、局所的に共型次元1（$F_1$ 上のCalabi型計量）であるか、平行なリッチ曲率を持つことしかありえないことを証明する。また、この研究はほぼKähler多様体へと拡張され、定数ラグランジュ的断面曲率をもつコンパクトなほぼKähler 4多様体は、必ずKählerかつ自己双対であることを示している。

ABSTRACT

We study Kahler surfaces with harmonic anti-selfdual Weyl tensor. We provide an explicit local description, which we use to obtain the complete classification in the compact case. We give new examples of extremal Kahler metrics, including Kahler-Einstein metrics and conformally Einstein Kahler metrics. We also extend some of our results to almost Kahler 4-manifolds, providing new examples of Ricci-flat almost Kahler metrics which are not Kahler.

研究の動機と目的

• 弱く自己双対Kähler表面（調和的反自己双対WeylテンソルをもつKähler 4多様体）を、幾何学的および解析的技法を用いて分類すること。
• このような表面に双ハミルトニアン構造を確立し、スカラー曲率と正規化されたリッチ形式のPfaffianが、可換なハミルトニアンキリングベクトル場のためのモーメンタム写像であることを示すこと。
• 特にコンパクトな場合に局所的および大域的分類を明示的に与え、極値的Kähler–Einsteinおよび共形的にEinsteinなKähler計量の新規例を構成すること。
• 結果をほぼKähler 4多様体へと拡張し、定数ラグランジュ的断面曲率をもつコンパクトなほぼKähler多様体は、必ずKählerかつ自己双対であることを証明すること。

提案手法

• Matsumoto–Tanno恒等式を用い、原始的リッチ形式が過剰決定線形微分方程式を満たすことを示し、逆向きの向きを持つ共形的KählerなHermitian構造が得られることを導く。
• 2形式が閉じており、$J$-不変であり、その原始的成分が過剰決定方程式を満たす「ハミルトニアン的2形式」をもつKähler表面の幾何を分析する。
• Calabiの構成を用いて共型次元1計量を記述し、1変数関数による明示的パrametrizationを行う。
• 四次多項式と定数に依存する計量の局所正規形を導出し、Bryantの自己双対ケースを一般化する。
• トーリックKähler構造の理論を用い、2つの1変数関数にのみ依存する「直交トーリック」表面のクラスを特徴づけ、曲率条件を常微分方程式に簡略化する。
• トポロジー的および曲率的制約（非定数スカラー曲率、向きを反転させる対合の存在）を用い、コンパクトな場合に genus-0 ルーティング表面が除外されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弱く自己双対Kähler表面の完全な局所的および大域的分類は何か？
• RQ2 自己双対Kähler表面で観察された双ハミルトニアン構造は、調和的反自己双対Weylテンソルというより弱い条件へと拡張可能か？
• RQ3 弱く自己双対クラスに属する極値的Kähler計量（Kähler–Einsteinまたは共形的にEinstein）の新規例は存在するか？
• RQ4 定数ラグランジュ的断面曲率をもつコンパクトなほぼKähler 4多様体は、必ず可積分なほぼ複素構造をもつのか？
• RQ5 原始的リッチ形式は、弱く自己双対Kähler表面の幾何にどのような役割を果たすのか？

主な発見

• 弱く自己双対Kähler表面は双ハミルトニアン構造をもつ：スカラー曲率と正規化されたリッチ形式のPfaffianは、可換なハミルトニアンキリングベクトル場のためのポisson可換なモーメンタム写像である。
• 一般の場合、計量は四次多項式と定数に依存する明示的な局所形をもつ。この定数が0であることは、計量が自己双対であることと同値である。
• コンパクトかつ連結な弱く自己双対Kähler表面では、可能なケースは共型次元1（$F_1$ 上のCalabi型計量）または平行なリッチ曲率（Kähler–Einsteinまたは定曲率リーマン多様体の局所的直積）のいずれかに限られる。
• 最初のHirzebruch多様体 $F_1$ 上に存在する唯一のコンパクトな弱く自己双対極値的計量は、Calabiの構成によって明示的に与えられ、ホモセチーを除いて一意である。
• 定数ラグランジュ的断面曲率をもつコンパクトなほぼKähler 4多様体は、必然的にKählerかつ自己双対である。これはコンパクト性の下での予想を解決する。
• 本稿では、自己双対でも反自己双対でもないが、共形的にEinsteinである極値的Kähler計量の新規例を構成し、このクラスに属する明示的なKähler–Einstein計量を提供する。