[論文レビュー] The Global Geometry of Stochastic Lœwner Evolutions

R. Friedrich|ArXiv.org|Jun 29, 2009

Stochastic processes and financial applications参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ユニバーサル・グラスマンニアンとヴァイラソロ代数を用いて、確率的ローナー進化（SLE）の普遍的な幾何的枠組みを確立し、SLEを conformal field theory（CFT）および可積分系と統一する。同様に、経路上の自己相反性を持つ確率測度が、ヴァイラソロ代数の最高重み表現として生じ、SLEの分配関数がドーブ変換を介してマルティンググールとなることが示され、幾何的量子化を通じてSLEとCFTの間の厳密な関係が確立される。

ABSTRACT

In this article we develop a concise description of the global geometry which is underlying the universal construction of all possible generalised Stochastic Lœwner Evolutions. The main ingredient is the Universal Grassmannian of Sato-Segal-Wilson. We illustrate the situation in the case of univalent functions defined on the unit disc and the classical Schramm-Lœwner stochastic differential equation. In particular we show how the Virasoro algebra acts on probability measures. This approach provides the natural connection with Conformal Field Theory and Integrable Systems.

研究の動機と目的

• 一般化された確率的ローナー進化（SLE）の背後にある普遍的な幾何的枠組みを、無限次元幾何学を用いて開発すること。
• ヴァイラソロ代数と行列式ラインバンドルを介して、SLEと conformal field theory（CFT）の間の厳密な関係を確立すること。
• 単一の解析的かつ幾何的構造内に、単一関数、劣微分鎖、確率的微分方程式といった、SLEに対する見かけ上異なるアプローチを統一すること。
• ヴァイラソロ代数が微分作用素を通じて確率測度に作用し、自己相反性および最高重み表現を生じることを示すこと。
• モジュライスタックと行列式ラインバンドルを用いて、SLEの構成を単位円板から任意の境界付きリーマン面へ拡張すること。

提案手法

• SLE経路をパrametrizeする中心的幾何的対象として、サトウ＝セガル＝ウィルソンのユニバーサル・グラスマンニアン（UGM）を用いる。
• ユニバーサル関数の空間にキリロフ＝カーラー多様体構造を適用し、自己相反変形をモデル化する。
• ウィット代数およびヴァイラソロ代数を用いて、無限小の自己相反対称性を記述し、ヴァイラソロ生成子を測度上の微分作用素として作用させる。
• ユリエフ＝クリチェバー埋め込みを用いて、UGMを無限次元シーゲル空間の部分多様体として実現する。
• グラスマン多様体上にねじれ行列式ラインバンドルを構成し、SLEにおける分配関数および観測量をモデル化する。
• 幾何的量子化を適用し、ベース上のウィット代数の古典的作用と、ラインバンドルの全空間上のヴァイラソロ代数の量子的作用との関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限次元リー群および代数を用いて、SLEのグローバル幾何をどのように普遍的に記述できるか？
• RQ2 SLEの文脈において、ヴァイラソロ代数が確率測度にどのように作用するか。また、これと自己相反性の関係は何か？
• RQ3 SLEの分配関数は、ドーブ変換およびヴァイラソロ代数の退化最高重み表現とどのように関係するか？
• RQ4 ユニバーサル・グラスマンニアンは、SLEを可積分系およびCFTと統一するために果たす役割は何か？
• RQ5 モジュライスタック $\hat{\mathfrak{M}}_{g,1}$ および行列式ラインバンドル $\pi^*\det^{\otimes c,h}$ の引き戻しを用いて、SLE枠組みを単位円板から任意の境界付きリーマン面へどのように一般化できるか？

主な発見

• SLE経路空間は自然にユニバーサル・グラスマンニアンに埋め込まれ、SLE経路はこの空間上の部分リーマン幾何から生じる。
• ヴァイラソロ代数は確率測度の空間に微分作用素を通じて作用し、すべての $L_n$（$n \geq 1$）が定数密度 1 を消滅させることで、自己相反性が反映される。
• スリット領域の分配関数 $Z_t$ はSLE過程においてマルティンググールであり、レベル2の退化最高重み表現に対応する。
• 条件付き測度は $M_t(\gamma) = \langle h | R_{\gamma_t} | h \rangle$ で記述され、境界上の2点を固定する自己同型変換に関して不変である。
• SLE、物理的観測量 $Z_t$、自己相反性を結ぶ標準的な可換図式により、SLE過程が分配関数のマルティンググールのドーブ変換に等しいことが確認される。
• 構成はモジュライスタック $\hat{\mathfrak{M}}_{g,1}$ および行列式ラインバンドル $\pi^*\det^{\otimes c,h}$ の引き戻しを用いて、単位円板を超えて任意の境界付きリーマン面へ一般化される。