[論文レビュー] The Gray Image of Codes over Finite Chain Rings

Somphong Jitman, Patanee Udomkavanich|ArXiv.org|Jul 20, 2009

Coding theory and cryptography参考文献 5被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、任意の冪零指数 $e+1$ を持つ有限鎖環上での定数循環符号の理論を拡張し、$e+1$ が任意の冪零指数であるときの $(1-\beta^e)$-定数循環符号構造を導入する。符号を残渣体 $\mathbf{F}_{p^k}$ 上の距離不変な準循環符号に変換するグレイ写像を定義し、$\text{gcd}(n,p) = 1$ のとき、巡回符号および $(1+\beta^e)$-定数循環符号のグレイ像が、インデックス $p^{ke-1}$ の準循環符号と置換同値であることを示す。

ABSTRACT

The results of J. F. Qiann et al. [4] on $(1-γ)$-cyclic codes over finite chain rings of nilpotency index 2 are extended to $(1-γ^e)$-cyclic codes over finite chain rings of arbitrary nilpotency index $e+1$. The Gray map is introduced for this type of rings. We prove that the Gray image of a linear $(1 - γ^{e})$-cyclic code over a finite chain ring is a distance-invariant quasi-cyclic code over its residue field. When the length of codes and the characteristic of a ring are relatively prime, the Gray images of a linear cyclic code and a linear $(1+γ^e)$-cyclic code are permutatively to quasi-cyclic codes over its residue field.

研究の動機と目的

• Qian らの冪零指数 2 の環上での $(1-\beta)$-定数循環符号に関する結果を、任意の冪零指数 $e+1$ を持つ環へ一般化すること。
• 任意の冪零指数 $e+1$ を持つ有限鎖環のための一般化されたグレイ写像を定義すること。
• $(1-\beta^e)$-定数循環符号のグレイ像を特徴付け、それが残渣体上での距離不変な準循環符号をもたらすことを示すこと。
• $\text{gcd}(n,p) = 1$ の条件下で、巡回符号および $(1+\beta^e)$-定数循環符号のグレイ像の構造を調査すること。
• $\text{gcd}(n,p) = 1$ のとき、グレイ像が $\mathbf{F}_{p^k}$ 上のインデックス $p^{ke-1}$ の準循環符号と置換同値であることを証明すること。

提案手法

• $R$ を冪零指数 $e+1$ の有限鎖環とする。$\nu$ によるシフト作用素を用いて、$(r_0,\dots,r_{n-1})$ を $((1-\beta^e)r_{n-1}, r_0, \dots, r_{n-2})$ に写像する $(1-\beta^e)$-定数循環符号を定義する。
• $R$ の元を $r = \textstyle\bigoplus_{i=0}^e a_i(r)\beta^i$ の多項式表現として用い、$\bbF_{p^k}^n$ への標準写像で $a_i(r) \to \tilde{a}_i(r)$ と定義することで、グレイ写像 $\rho: R^n \to \bbF_{p^k}^{p^{ke}n}$ を定義する。
• 変換された成分を連結することでグレイ像を構成する：$\rho(\mathbf{r}) = \bigoplus_{j=0}^{p^{ke}-1} \bigoplus_{i=0}^{n-1} \text{coefficients of } \text{poly}(\tilde{a}_0(r_j), \dots, \tilde{a}_e(r_j))$。
• $\bbF_{p^k} \to \bbZ_p[\beta]/\beta^k$ の同型を用いて、$\tilde{a}_i(r_j)$ を $\bbF_{p^k}^n$ 内のベクトルとして定義し、$\bbF_{p^k}^{p^{ke}n}$ 内の完全な像の構成を可能にする。
• 画像が巡回シフトに関して不変であることを示すために、作用素 $\tau^{\bigotimes p^{ke-1}}$ を適用し、それが準循環であることを証明する。
• $\beta \to 1 + 2jn'\beta^e$ の自己同型を用いて、$\beta^2$ が符号語に与える作用を解析し、画像のシフト構造と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 冪零指数 $e+1$ を持つ有限鎖環上での $(1-\beta^e)$-定数循環符号のグレイ像の構造は何か？
• RQ2 グレイ写像は線形 $(1-\beta^e)$-定数循環符号をどのように変換し、その像は残渣体上での準循環符号であるか？
• RQ3 有限鎖環 $R$ 上の巡回符号のグレイ像が $\bbF_{p^k}$ 上の準循環符号と置換同値であるための条件は何か？
• RQ4 $\text{gcd}(n,p) = 1$ のとき、$(1+\beta^e)$-定数循環符号のグレイ像の構造は何か？
• RQ5 グレイ像の準循環構造は、シフト作用素とインデックス $p^{ke-1}$ を用いて特徴付けられるか？

主な発見

• $R$ の冪零指数 $e+1$ を持つ有限鎖環上での線形 $(1-\beta^e)$-定数循環符号のグレイ像は、残渣体 $\bbF_{p^k}$ 上の距離不変な準循環符号である。
• $\text{gcd}(n,p) = 1$ のとき、$R$ 上の線形巡回符号のグレイ像は、$\bbF_{p^k}$ 上の長さ $p^{ke}n$、インデックス $p^{ke-1}$ の準循環符号と置換同値である。
• $R$ 上の長さ $n$ の線形 $(1+\beta^e)$-定数循環符号のグレイ像も、同じ条件下で、$\bbF_{p^k}$ 上の長さ $p^{ke}n$、インデックス $p^{ke-1}$ の準循環符号と同値である。
• 証明は、$\bbF_{p^k}$ と $\bbZ_p[\beta]/\beta^k$ の同型に基づき、係数ごとの持ち上げと連結を用いたグレイ写像の構成を可能にする。
• 画像のシフト構造は作用素 $\tau^{\bigotimes p^{ke-1}}$ を用いて保存され、これはサイズ $pn$ のブロックにおける巡回シフトとして作用し、準循環性を確認する。
• $\beta^2 \to 1 + 2jn'\beta^e$ の自己同型を用いて、$\rho \times \rho$ による像が準循環符号のシフト構造と一致することを示し、同値性を証明する。