[論文レビュー] The Group of Hamiltonian Homeomorphisms in the L^∞-norm

Stefan Müller|arXiv (Cornell University)|May 10, 2007

Geometric and Algebraic Topology被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、シンプレクティック多様体上での L∞-ホーファーノルムを用いて定義されるハミルトニアンホメオモルフィズムの群が、L(1,∞)-ホーファーノルムを用いて定義される標準的な群と一致することを確立している。L∞-ノルムにおけるハミルトニアン経路の位相的・計量的性質を分析することで、著者たちはオウとマクダフが提起した疑問を解決し、異なるノルム選択にもかかわらず、2つのハミルトニアンホメオモルフィズムの概念が同値であることを証明した。

ABSTRACT

The group Hameo (M,ω) of Hamiltonian homeomorphisms of a connected symplectic manifold (M,ω) was defined and studied in [7] and further in [6]. In these papers, the authors consistently used the L(1,∞)-Hofer norm (and not the L∞-Hofer norm) on the space of Hamiltonian paths (see below for the definitions). A justification for this choice was given in [7]. In this article we study the L∞-case. In view of the fact that the Hofer norm on the group Ham (M,ω) of Hamiltonian diffeomorphisms does not depend on the choice of the L(1,∞)-norm vs. the L∞-norm [9], Y.-G. Oh and D. McDuff (private communications) asked whether the two notions of Hamiltonian homeomorphisms arising from the different norms coincide. We will give an affirmative answer to this question in this paper.

研究の動機と目的

• L∞-ホーファーノルムを用いて定義されるハミルトニアンホメオモルフィズムの群が、L(1,∞)-ホーファーノルムを用いて定義される標準的な群と一致するかどうかを調査すること。
• Y.-G. オウと D. マクダフが提起した、ハミルトニアンホメオモルフィズム群がホーファー型ノルムの選択に依存しないかという基礎的問題に応えること。
• シンプレクティック幾何学における L∞-ノルム下でのハミルトニアン経路の位相的・計量的構造を明確にすること。
• 既存の理論と整合する形で、L∞-ノルムをハミルトニアンホメオモルフィズムを定義するために一貫して用いる根拠を明確にすること。

提案手法

• ハミルトニアン経路の空間に L∞-ホーファーノルムを導入し、一様収束性および有界性の性質に注目して分析する。
• ハミルトニアン経路の空間上での L∞-ノルムが誘導する位相と L(1,∞)-ノルムが誘導する位相を比較する。
• 文献[9]で確立されたように、Ham(M,ω) 上のホーファーノルムが L(1,∞) と L∞ のノルムの選択に依存しないことを利用し、ギャップを埋める。
• 文献[7]および[6]における Hameo(M,ω) の結果を応用し、ノルムの独立性をホメオモルフィズムの設定に拡張する。
• 関数解析的技法を用いて、L∞-ノルム下でのハミルトニアン経路の収束性および閉包性の性質を研究する。
• L∞-ノルム下でのハミルトニアン微分同相写像の閉包が、L(1,∞)-ノルム下でのそれと同一の群を定義することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 L∞-ホーファーノルムを用いて定義されるハミルトニアンホメオモルフィズムは、L(1,∞)-ホーファーノルムを用いて定義されるものと一致するか？
• RQ2 ハミルトニアン経路の空間上でのホーファー型ノルムの選択に依存しないか、群 Hameo(M,ω) は成立するか？
• RQ3 L∞-ノルムを用いてハミルトニアンホメオモルフィズムを定義する際に、その結果として得られる群を変えることなく一貫して用いることができるか？
• RQ4 L∞-ノルムと L(1,∞)-ノルムがハミルトニアン経路の空間上に誘導する位相の関係は何か？
• RQ5 L∞-ノルムは、ハミルトニアンホメオモルフィズムの本質的な幾何学的・力学的性質を保持するか？

主な発見

• L∞-ホーファーノルムを用いて定義されるハミルトニアンホメオモルフィズムの群は、L(1,∞)-ホーファーノルムを用いて定義される標準的な群と同一である。
• 連結なシンプレクティック多様体上では、L∞ と L(1,∞) のノルムの選択が、ハミルトニアンホメオモルフィズムの群に影響しない。
• L∞-ノルム下でのハミルトニアン微分同相写像の位相的閉包は、L(1,∞)-ノルム下でのそれと同一の群を定義する。
• この結果は、異なるノルム構造下でもハミルトニアンホメオモルフィズムの概念の頑健性を裏付けている。
• 同値性は、異なる解析的枠組み下でもハミルトニアンホメオモルフィズム理論の整合性を支持する。
• 本研究の結果は、Y.-G. オウと D. マクダフが提起した、ハミルトニアンホメオモルフィズムの文脈におけるノルム独立性に関する疑問を解決した。