[論文レビュー] The growth rates of automaton groups generated by reset automata

Feyishayo Olukoya|arXiv (Cornell University)|Aug 23, 2017

semigroups and automata theory参考文献 12被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、リセットオートマトンおよび関連するトランスダーサーによって生成されるオートマトン群における無限位数の十分条件を確立し、このような群が有限であるか、またはランク2以上の自由半群を含むことを示している。悪対のグラフと同期化性を用いて、このグラフ内にサイクルが存在するならば、群の位数が無限大であり、ケイリー型オートマトンの成長率が |G|ⁿ であることを証明している。

ABSTRACT

We give sufficient conditions for when groups generated by automata in a class $\mathcal{C}$ of transducers, which contains the class of reset automata transducers, have infinite order. As a consequence we also demonstrate that if a group generated by an automata in $\mathcal{C}$ is infinite, then it contains a free semigroup of rank at least 2. This gives a new proof, in the context of groups generated by automaton in $\mathcal{C}$, of a result of Chou showing that finitely generated elementary amenable groups either have polynomial growth or contain a free semigroup of rank at least 2.

研究の動機と目的

• リセットオートマトンによって生成されるオートマトン群が無限大であるための十分条件を特定すること。
• 有限生成の初等可解群が多項式成長をとるか、ランク ≥2 の自由半群を含むというチョウの結果を、オートマトン群の文脈で新たな証明すること。
• 特に有限群のケイリー機械に関して、オートマトン群の成長行動を特徴付けること。
• 同期化トランスダーサーにおける悪対のグラフの構造を分析し、無限位数を検出すること。
• このようなトランスダーサーによって生成される無限オートマトン群が、ランク2以上の自由半群を含むことを確立すること。

提案手法

• レベルkで同期化され、かつ可逆な逆写像を持つ双方向同期化（bi-synchronizing）であるようなトランスダーサーのクラスを定義する。
• 各オートマトン A ∈ Ḡₙ に対して、長さ r ≥ k の文字列における状態遷移と出力をもとに、『悪対』の有限グラフ Gᵣ(A) を構成する。
• Gᵣ(A) 内にサイクルが存在するかどうかを、群の無限位数を示す主要な指標とする。
• 帰納法とコアトランスダーサー解析を用いて、A がレベル1で同期化され、状態到達可能性条件を満たすならば、すべての m に対して Core(Aᵐ) = Aᵐ であることを示す。
• 有限群 G のケイリー機械構成を用いて、オートマトン C(G) を定義し、(C(G))⁻¹ が無限成長の条件を満たすことを示す。
• すべての状態が (C(G))ⁿ 内で互いに到達可能であり、かつ半群が自由であることを確認することで、C(G) が生成するオートマトン群の成長率が |G|ⁿ であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リセットオートマトンによって生成されるオートマトン群が無限位数をとる条件は何か？
• RQ2 悪対のグラフ Gᵣ(A) にサイクルが存在するかどうかを、オートマトン群の無限位数の検出に利用できるか？
• RQ3 同期化トランスダーサーによって生成されるすべての無限オートマトン群は、ランク2以上の自由半群を含むか？
• RQ4 有限群のケイリー機械によって生成されるオートマトン群の成長率は何か？
• RQ5 同期化性とコアトランスダーサーの挙動は、オートマトン群の構造と成長にどのように関係するか？

主な発見

• オートマトン A ∈ Ḡₙ について、悪対のグラフ Gᵣ(A) にサイクルが存在するならば、A は Xₙ^ℤ 上に無限軌道をもつため、A は無限位数をもつ。
• Gᵣ(A) にサイクルが存在するならば、A が生成するオートマトン群は無限大である。これは補題1.2に述べられている。
• クラス 𝒞（リセットオートマトンを含む）に属するトランスダーサーによって生成されるすべての無限オートマトン群は、ランク2以上の自由半群を含む。
• 任意の有限群 G に対して、ケイリー機械 C(G) が生成するオートマトン群の成長率は |G|ⁿ である。これは定理6.18で示されている。
• 逆ケイリー機械 (C(G))⁻¹ は、補題6.17の条件を満たしており、すべての m に対して Core((C(G))ᵐ) = (C(G))ᵐ が成り立つ。これは成長率の結果を裏付ける。
• (C(G))ⁿ のすべての状態が互いに到達可能であり、完全な接続性が確認された。これにより、成長率 |G|ⁿ が支持される。