[論文レビュー] The Hamiltonian Dynamics of Bounded Spacetime and Black Hole Entropy: The Canonical Method

Mu-In Park|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2001

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 28

ひとこと要約

この論文は、ホライズンで適切な変分原理を備えた正準ハミルトニアン力学を用いて、ブラックホールエントロピーの第一原理的導出を提供する。カルピルの以前の手法に見られる不一致を解消し、表面変形から古典的ヴィラソロ代数を導出し、その正準量子化により正しい中心的荷重と自己共形重みが得られ、適切な基底状態を選べば、ボーンケシュタイン＝ホーキングのエントロピー公式が1/4の普遍的係数を伴って再現される。

ABSTRACT

From first principles, I present a concrete realization of Carlip's idea on the black hole entropy from the conformal field theory on the horizon in any dimension. New formulation is free of inconsistencies encountered in Carlip's. By considering a correct gravity action, whose variational principle is well defined at the horizon, I $derive$ a correct $classical$ Virasoro generator for the surface deformations at the horizon through the canonical method. The existence of the classical Virasoro algebra is crucial in obtaining an operator Virasoro algebra, through canonical quantization, which produce the right central charge and conformal weight $\sim A_+/\hbar G$ for the semiclassical black hole entropy. The coefficient of proportionality depends on the choice of ground state, which has to be put in by hand to obtain the correct numerical factor 1/4 of the Bekenstein-Hawking (BH) entropy. The appropriate ground state is different for the rotating and the non-rotating black holes but otherwise it has a $universality$ for a wide variety of black holes. As a byproduct of my results, I am led to conjecture that {\it non-commutativity of taking the limit to go to the horizon and computing variation is proportional to the Hamiltonian and momentum constraints}. It is shown that almost all the known uncharged black hole solutions satisfy the conditions for the universal entropy formula.

研究の動機と目的

• ブラックホールエントロピーをホライズンにおけるヴィラソロ代数から導出するカルピルの提案における不一致を解消すること。
• ホライズン境界を伴う重力のための一貫した変分原理を確立するため、適切なハミルトニアン作用を構築すること。
• 正準的手法を用いてホライズンにおける表面変形から古典的ヴィラソロ代数を導出し、全微分同相変換対称性と整合性を保つこと。
• この代数の正準量子化が、ホライズン面積に比例する正しい中心的荷重と自己共形重みを生み出し、ボーンケシュタイン＝ホーキングのエントロピー公式を再現すること。
• 数値係数1/4を固定する適切な基底状態を特定し、さまざまなブラックホールタイプにわたって普遍的であることを示すこと。

提案手法

• ホライズンで適切な変分原理を持つ作用原理から、新たな正準ハミルトニアンを導出。境界条件の微分可能性を保証する。
• ホライズンの構造を保ちつつ一貫した表面変形を許すように、計量および微分同相変換パラメータの漸近的減少条件を課す。
• ホライズン温度、角速度、ホライズン位置を固定するグランドカノニカルアンサンブルを導入し、これにより微分同相変換生成子の形が制限される。
• ホライズンにおける零測地線構造にインspiredされた、明示的な時空依存性を持つ微分同相変換パラメータを導入し、表面変形代数をヴィラソロ代数（中心拡張付き）に閉じる。
• ホライズン近傍での詳細な漸近的展開（Nのべき級数）を実行し、表面変形のポisson括弧を計算。ハミルトニアン制約から中心的荷重を同定。
• ホライズンへの極限と変分の順序が可換でないという事実に基づき、括弧計算における非可換極限の結果から、これがハミルトニアンおよび運動量制約に比例すると予想する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブラックホールホライズンにおいて、変分原理が明確に定義されるような、一貫した重力の正準的定式化を構築できるか？
• RQ2 適切な境界条件を課した場合、ホライズンにおける表面変形代数が中心拡張付きの古典的ヴィラソロ代数に閉じるか？
• RQ3 第一原理的正準量子化によって、ヴィラソロ代数の中心的荷重と自己共形重みを導出し、ボーンケシュタイン＝ホーキングのエントロピー公式を再現できるか？
• RQ4 基底状態がエントロピー公式における数値係数1/4を固定する役割を果たすが、その基底状態はさまざまなブラックホールタイプにわたって普遍的か？
• RQ5 ホライズンへの極限と変分の計算の順序が可換でないのはなぜか？この非可換性の物理的意味は何か？

主な発見

• 変分原理がホライズンで明確に定義される新たな正準ハミルトニアンが導出され、以前の定式化における不一致が解消された。
• 適切な境界条件の下で、ホライズンにおける表面変形代数が中心拡張付きの古典的ヴィラソロ代数に閉じることが示された。これは微分同相変換制約から導出される。
• ヴィラソロ代数の中心的荷重はホライズン面積に比例し、正準量子化の後で正しい比例係数が得られた。
• 自己共形重みは ∼A₊/ℏG として導出され、半古典的エントロピー公式と一致し、ブラックホールエントロピーの統計的起源が共形場理論によって裏付けられた。
• 数値係数1/4は、適切な基底状態を選択した場合にのみ再現され、回転しないブラックホールと回転するブラックホールでその基底状態が異なるが、それ以外の点で普遍的である。
• ホライズンへの極限と変分プロセスとの間に非可換性が観測され、これは明示的な括弧計算に基づき、ハミルトニアンおよび運動量制約に比例すると予想された。